https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/103512 2026-04-30T13:07:58Z 2026-04-30T13:07:58Z Goularti, Renan Rabelo https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/273208 2026-04-07T23:27:53Z 2026-01-01T00:00:00Z

Robustness results for nonuniform exponential dichotomies Goularti, Renan Rabelo Nesta dissertação, investigamos dicotomias exponenciais não uniformes em processos de evolução discretos e contínuos em espaços de Banach. No caso discreto, demonstramos que a existência e unicidade de soluções limitadas para equações não homogêneas em espaços de sequências ponderadas, juntamente com o decaimento exponencial das soluções homogêneas para frente e para trás, implicam a admissibilidade de uma dicotomia exponencial não uniforme. Demonstramos também que, sob a condição de que o expoente da dicotomia seja estritamente maior que o expoente de não uniformidade, a família de projeções instáveis é única, depende continuamente do processo e a dicotomia é robusta sob pequenas perturbações lineares. Estendemos esses resultados ao cenário contínuo através da técnica de discretização, possibilitando a transposição direta das propriedades discretas. Por fim, analisamos um outro tipo de dicotomia exponencial não uniforme, mostrando que os dois tipos são complementares e se aplicam em diferentes exemplos. Também estabelecendo um resultado de robustez desta nova dicotomia para processos de evolução invertíveis em espaços reflexivos.; Abstract: In this dissertation, we investigated nonuniform exponential dichotomies in discrete and continuous evolution processes in Banach spaces. In the discrete setting, we demonstrated that the existence and uniqueness of bounded solutions to nonhomogeneous equations in weighted sequence spaces, combined with the exponential decay of forward and backward homogeneous solutions, imply the admissibility of a nonuniform exponential dichotomy. We further showed that, under the condition that the dichotomy exponent is strictly greater than the nonuniformity exponent, the family of unstable projections is unique, depends continuously on the process, and the dichotomy is robust under small linear perturbations. We extended these results to the continuous setting via the discretization technique, allowing for the direct transposition of the discrete properties. Finally, we analyze another type of non-uniform exponential dichotomy, showing that the two types are complementary and apply to different examples. We also establish a robustness result for this new dichotomy for invertible evolution processes in reflexive spaces. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2026.

2026-01-01T00:00:00Z Basotti, Ana Gabriela https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/273201 2026-04-07T23:27:46Z 2026-01-01T00:00:00Z

Sistemas dinâmicos diferenciáveis: hiperbolicidade e teoria ergódica Basotti, Ana Gabriela Neste trabalho exploramos o conceito de hiperbolicidade em sistemas dinâmicos diferenciáveis, isto é, quando o espaço de fases é uma variedade diferenciável e a regra de evolução é dada por um difeomorfismo agindo na variedade. Estudamos propriedades fundamentais desses sistemas, como a existência de variedades estáveis e instáveis e a persistência da hiperbolicidade sob pertubações. Além disso, trabalhamos a noção de ergodicidade no caso do difeomorfismo ser hiperbólico em toda variedade e conservativo. Por fim, discutimos generalizações da noção de hiperbolicidade, como a decomposição dominada e a hiperbolicidade parcial, apresentando a conjectura de Pugh?Shub sobre ergodicidade em sistemas parcialmente hiperbólicos.; Abstract: In this work we explore the concept of hyperbolicity in differentiable dynamical systems, that is, when the phase space is a differentiable manifold and the evolution rule is given by a diffeomorphism acting on the manifold. We study some fundamental properties of these systems, such as the existence os stable and unstable manifolds and the persistence os hyperbolicity under pertubations. Moreover, we go through the notion of ergodicity in the case of the diffeomorphism being hyperbolic on the whole manifold and conservative. Finally, we discuss generalizations of the notion of hyperbolicity, such as dominated splitting and partial hyperbolicity, presenting the Pugh?Shub conjecture on ergodicity in partially hyperbolic systems. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2026.

2026-01-01T00:00:00Z Santos, Laura Ribeiro dos https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/273118 2026-03-31T23:26:53Z 2026-01-01T00:00:00Z

Blown-up singular Riemannian foliations Santos, Laura Ribeiro dos Nesta dissertação de mestrado investigamos novas propriedades do método de desingularização por blow-up no contexto de folheações Riemannianas singulares. Primeiramente, relacionamos a dinâmica de tais folheações (governada pelo chamado feixe de Molino) com a dinâmica de seu blow-up. No caso particular das folheações de Killing singulares, isso conduz a uma forte restrição sob hipóteses topológicas: a saber, as folhas de tais folheações são todas fechadas, desde que a característica de Euler da variedade ambiente seja não nula e que todos os seus estratos singulares tenham codimensão ímpar. Em seguida, relacionamos a cohomologia básica de uma folheação Riemanniana singular com a de seu blow-up, generalizando resultados clássicos bem conhecidos da geometria algébrica e da geometria complexa. Por fim, mostramos que o espaço dos fechos das folhas de uma folheação de Killing singular é o limite de Gromov?Hausdorff de uma sequência de orbifolds, cujas dimensões são iguais à codimensão da folheação.; Abstract: In this master dissertation we investigate new properties of the blow-up desingularization method in the context of singular Riemannian foliations. First, we relate the dynamics of such a foliation, which is governed by the so called Molino sheaf, with that of its blow-up. In the particular case of singular Killing foliations, this leads to a strong constraint under mild topological assumptions: namely, the leaves of such foliations are all closed, provided the Euler characteristic of its ambient manifold is non-vanishing and its singular strata are all odd-codimensional. Next, we relate the basic cohomology of a singular Riemannian foliation with that of its blow-up, generalizing well-known, classical analogous results in algebraic and complex geometry. Finally, we show that the space of leaf closures of a singular Killing foliation is the Gromov?Hausdorff limit of a sequence of orbifolds, whose dimensions are the codimension of the foliation. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2026.

2026-01-01T00:00:00Z Silva, Sofia Meneghel https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/272662 2026-03-11T00:03:30Z 2026-01-01T00:00:00Z

Strong gradings and correspondences between graph, ultragraph and subshift algebras Silva, Sofia Meneghel Esta dissertação investiga álgebras geradas a partir de três classes de estruturas: grafos direcionados, ultragrafos e subshifts, destacando que essas diferentes construções podem ser relacionadas por meio de isomorfismos graduados. Um tema central é o estudo de gradações nessas álgebras. Analisamos graduações por Z e critérios para graduações fortemente Z-graduadas, e também consideramos gradações induzidas por grupos livres: no contexto de ultragrafos, a graduação é gerada pelas arestas, enquanto no contexto de subshifts ela é gerada pelos símbolos do alfabeto. Nossos principais resultados identificam álgebras de subshifts com álgebras de caminhos rotulados de Leavitt por meio de isomorfismos graduados. Além disso, apresentamos álgebras de subshifts como partial skew group rings decorrentes de ações parciais de grupos livres. Por fim, esclarecemos como as álgebras de grafos e de ultragrafos se imergem e interagem com essas álgebras de subshifts.; Abstract: This dissertation investigates algebras generated from three classes of structures: directed graphs, ultragraphs, and subshifts, and emphasizes that these different constructions can be related through graded isomorphisms. A central theme is the study of gradings on these algebras. We analyze Z-gradings and criteria for strong Z-gradings, and we also consider gradings induced by free groups: in the ultragraph setting, the grading is generated by edges, while in the subshift setting it is generated by symbols of the alphabet. Our main results identify subshift algebras with Leavitt labelled path algebras via graded isomorphisms. Moreover, we present subshift algebras as partial skew group rings arising from partial actions of free groups. Finally, we clarify how graph and ultragraph algebras embed into, and interact with, these subshift algebras. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2026.

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