Ideais primitivos de C*-álgebras

Abstract

Começamos este trabalho definindo alguns conceitos preliminares em C*-álgebras, onde abordamos o teorema de Gelfand, que trata de representar cada C*-álgebra abeliana A por C_0(?(A))), onde $?(A)$ (caracteres) é um espaço Hausdorff localmente compacto. Num segundo momento trabalhamos o conceito de representação de C*-álgebras, onde o caso particular das representações irredutíveis tem papel análogo ao dos caracteres no caso abeliano, os núcleos de tais representações formam o espaço dos ideais primitivos Prim(A). Quando nos restringimos ás C*-álgebras separáveis o espaço Prim(A) possui a propriedade de Baire, propriedade esta que é importante para se concluir a equivalência entre os conceitos de ideal primo fechado e ideal primitivo, e desta equivalência decorre a sobriedade de Prim(A). Na parte final do trabalho estudamos o importante teorema de Dauns-Hofmann, que nos deu suporte para a demonstração do isomorfismo de Dixmier, e este último usamos para demonstrar o isomorfismo entre Z(A) e C_0(Prim(A)) no caso em que Prim(Ã) é Hausdorff.

We start this work defining some premilinary concepts in C*-algebras, where we discuss the Gelfand theorem, wich deals with the representation of each abelian C*-algebra A by C0(O(A)), where O (A) (characters) is a locally compact Hausdorff spaces. Subsequently, we focus on the concept of the C*-algebras representation, where the particular case of irreducible representations has similar role of the characters in the abelian case, the kernel of such representations form the space of primitives ideals Prim(A). When we are restricted to separables C*-algebras the Prim(A) space has the Baire property, wich is important to conclude the equivalence between the concepts of closed prime ideal and primitive ideal, and from this equivalence derives the sobriety of the Prim(A). In the last chapter, we study the important theorem of Dauns-Hofmann, which gave us support for the demonstration of the Dixmier isomorphism, and this last one we used to demonstrate the isomorphism between Z(A) and C0(Prim(A)) in the case where Prim(Ã) is Hausdorff.