Matriz de covariância corrigida para os modelos não-lineares da família exponencial

Abstract

Os modelos nao-lineares da familia exponencial e uma extensao dos modelos lineares generalizados, permitindo que o preditor da media seja nao-linear. Esses modelos, por serem menos restritivos, tem sido utilizados para modelar sistemas produtivos como mais uma ferramenta na tomada de decisao. Usualmente, os parametros desses modelos sao estimados pelo metodo de maxima verossimilhanca, que tem propriedades assintoticas de O(n-1), onde n e o tamanho da amostra. Portanto, para tamanhos de amostras pequenos, pode haver erros consideraveis, nas inferencias. Essa Tese tem como objetivo obter uma expressao analitica para a matriz de covariancia de segunda ordem do estimador de maxima verossimilhanca para os parametros dos modelos nao-lineares da familia exponencial que contribuira no procedimento de inferencia da verossimilhanca, quando o tamanho da amostra e pequeno. Esse estimador, que nada mais e do que uma correcao do que vem sendo utilizado, tem propriedades assint´oticas de O(n-2). A metodologia adotada consistiu em obter os cumulantes desses modelos e substitui-los na funcao geratriz dos cumulantes, que, pela propriedade de invariancia sob permutacao de indices nos modelos nao-lineares da familia exponencial, pode ser simplificada e expressa em termos de matrizes. A expressao obtida e de facil implementacao computacional, uma vez que consiste de operacoes com matrizes. O estimador de segunda ordem da matriz de covariancia foi avaliado por um estudo de simulacao que mostrou que esse e indispensavel para amostras de tamanho pequeno a moderado. Para ilustrar o uso da tecnica proposta, uma aplicacoes na avaliacao da qualidade do papel cujo modelo que descreve a variavel resposta grau de refino das fibras e log-linear e componente aleatoria gama. Nessa aplicacao evidenciou-se a necessidade dos estimadores de O(n-2).

The exponential family non-linear models are an extension of the generalized linear models, allowing the average predictor to be non-linear. These models, for being less restrictive, have been used to model productive system, being one more tool on the decision-making. Usually, the parameters of these models are estimated through the maximum likelihood method, which have asymptotic properties of n-1 order, where n is the sample size; thus, for small sample sizes, there might be considerable errors in the inferences. This work has the objective to obtain an analytic expression for the covariance matrix of second-order of the maximum likelihood estimator for the exponential family non-linear models, which will contribute to the likelihood inference proceeding when the sample size is small. This estimator, which is anything but a correction of what has been used, has asymptotic properties of O(n-2). The adopted methodology consisted in developing the cumulative of these models and substituting them in the cumulative generative function that, through the invariance property under index permutation in the exponential family models, may be simplified and expressed in matrix terms. The obtained expression is easily computational-implemented, seen that it consists in matrix operations. The covariance matrix second-order estimator was evaluated through a simulation study, which showed that this is indispensable for samples from small to moderate size. In order to illustrate the use of the proposed technique, one application in paper quality, whose model that describes the answer variable fiber refining degree is log-linear, and gamma random component. Into these application, the necessity of O(n-2) estimators was evidenced.