Condições de qualificação para problemas de minimização

Abstract

Neste trabalho, o objeto de estudo foi condições de otimalidade e condições de qualificação. Iniciamos a abordagem pelo problema de minimização sobre conjuntos irrestritos, concluindo condições a que um minimizador local deve satisfazer, bem como características que pontos devem cumprir a fim de serem candidatos a tais requeridos pontos. Do fato de que essa classe de problema n˜ao tem grande aplicabilidade na realidade, adentramos na minimização sobre conjuntos com restrições, passando por igualdade, desigualdade e conjunção destas. Note-se que as conclusões são análogas nessas hipóteses de restrições, com modificações pequenas e ideias parecidas. Destaco os resultados de condições necessárias e suficientes, tratados no Teorema 2.2.9 e Corolário 2.2.10 para conjuntos de igualdade e posteriores modificações para as demais restrições. O Teorema de Karush-Kuhn-Tucker ´e importante computacional e teoricamente, e a demonstração ´e feita supondo a independência linear dos gradientes no ponto analisado. No entanto, aplicabilidade em algoritmos práticos ´e, por muitas vezes, difícil. Donde faz-se necessário o estudo de outras maneiras de determinar pontos minimizadores locais. Sob esse aspecto, estudamos condições de qualificação, as quais quando aplicadas junto com a condições de um ponto ser minimizador local implica no Teorema de Karush-Kuhn-Tucker. Verificamos que a condição de qualificação de dependência linear positiva implica quase normalidade, discutimos as implicações entre elas e verificado que algumas são realmente mais fortes que outras. Com o objetivo de ilustrar uma aplicação, na Seção 4 estudamos um algoritmo de Lagrangeano Aumentado sob a condição de qualificação de dependência linear positiva constante. No que concerne o estudo envolvido neste trabalho, ressalto que foi relevante para a cultura 41 matemática, bem como desenvolvimento do gosto pelo saber, despertando interesse pela área de Otimização Matemática, a qual pretendo seguir.