A solução de Douglas-Radó do problema de Plateau

Abstract

Superfícies mínimas são um objeto de estudo importante em geometria. Um possível modo de visualizar uma superfície mínima é o seguinte: se mergulharmos um pedaço de arame fechado em uma solução de sabão e o retirarmos (cuidadosamente), as tensões envolvidas fazem com que a superfície descrita pela membrana de sabão obtida minimize (relativamente) a área entre as possíveis superfícies com o bordo dado pelo arame. Uma tal superfície é um exemplo de uma superfície mínima. Devido aos diversos estudos e experimentos realizados pelo físico Joseph Plateau (1801-1883) acerca de tensões superficiais, incluindo a constatação do fato descrito acima, o problema de determinar uma superfície que possua a menor área entre aquelas que têm o bordo dado por uma curva de Jordan ?? prescrita é conhecido como Problema de Plateau.Este problema, inicialmente proposto por Lagrange (1736-1813) em 1760, só foi satisfatoriamente resolvido por volta de 1930, quando Tibor Radó (1895-1965) e Jesse Douglas (1897-1965) chegaram independentemente a suas soluções, assumindo que as superfícies em questão possuem a topologia do disco. Em 1936, Douglas foi premiado com a medalha Fields pelos seus trabalhos sobre o Problema de Plateau. Neste trabalho, discutiremos a resolução dada por Douglas e Radó. O primeiro problema que devemos considerar é dar uma formulação matematicamente precisa do problema, especificando o tipo de regularidade, topologia, etc., que as superfícies admissíveis para o problema devem ter. Para isso, o trabalho foi separado em três partes: a primeira parte visa a dar os conceitos e resultados básicos necessários para a formulação e resolução do problema; na segunda parte, estudamos espaços de Sobolev e suas propriedades; na terceira parte é construída a solução do problema. Concretamente, analisamos a relação do problema de Plateau com o Problema de Dirichlet, no qual procuramos minimizar a energia entre funções com valor de bordo fixado.