Análise de estabilidade da convecção de Rayleigh-Bénard-Poiseuille estratificada

Abstract

A presença de escoamento horizontal em sistemas onde existe um gradiente vertical de temperatura que pode induzir a convecção ao natural pode ser vista em diversas situações, tanto em aplicações tecnológicas quanto em fenômenos naturais. Apesar disto, a influência do escoamento cisalhante sobre os limites onde a convecção natural ocorre ainda é pouco conhecida, especialmente em meios multifásicos. O objetivo do presente trabalho é avaliar a estabilidade de um sistema composto por dois fluidos imiscíveis sobrepostos sujeitos a um gradiente de pressão horizontal, que induz o escoamento nesta direção o, e um gradiente de temperatura vertical que pode levar à formação de células convectivas quando a diferença de temperatura entre as paredes horizontais atingir um valor crítico. Este modelo contempla diferentes fenômenos presentes sistemas mais simples cujas características de estabilidade já são conhecidas e apresentadas na literatura, sendo por isso chamado de convecção o de Rayleigh-Bénard-Poiseuille estratificada. Duas diferentes abordagens numéricas foram empregadas para avaliar a estabilidade este sistema. Primeiramente, foi utilizada uma análise linear onde a dependência das variáveis ao longo do tempo e da direção horizontal é modelada através de modos normais associados a uma determinada perturbação. O comportamento dinâmico desta perturbação define a estabilidade do sistema: se a amplitude da perturbação diminuir com o tempo o sistema ser á estável, caso contrário este seria instável. A segunda forma de análise foi através da simulação numérica direta das equações governantes com o uso de técnicas de fluidodinâmica computacional. Os resultados obtidos com as duas metodologias mostram-se de modo geral em acordo, indicando respostas semelhantes à variação em determinados parâmetros. Devido ao grande número de fenômenos que afetam a estabilidade deste sistema, a análise foi restrita a uma estreita faixa para os parâmetros governantes. Em especial, foram determinados os valores mínimos para o número de Rayleigh necessários para que a convecção natural ocorra e as possíveis formas que o sistema pode ser organizar neste caso. Diferentes modos de acoplamento entre as camadas foram identificados e caracterizados, bem como foram definidos os intervalos onde cada modo surge como mais instável. A competição entre diferentes modos de instabilidade pode alterar de forma significativa os perfis de velocidade e temperatura obtidos, podendo mesmo levar á casos onde o sistema continuamente oscila entre diferentes formas de convecção natural. A indução de um escoamento paralelo, no entanto, inibe a formação destes estados oscilatórios por afetar de forma distinta os diferentes modos. A presença de uma interface separando as duas camadas representa um problema adicional, pois esta pode levar à formação de células convectivas devido unicamente ao efeito termocapilar ou pode ser deformada em função do campo de velocidades e causar variações locais nas espessuras das camadas. Além disso, os resultados obtidos com a simulação direta utilizando o método do volume de fluido mostram que quando o valor de Rayleigh é consideravelmente superior ao valor crítico e a diferença de densidade entre as camadas não for suficiente para estabilizar a interface, a aproximação em termo dos modos normais não é mais válida e estruturas muito complexas podem surgir. Apesar das dificuldades matemáticas e numéricas inerentes `a modelagem desta forma de escoamento, a associação da análise linear com a simulação numérica direta mostrou-se apropriada para a análise de estabilidade da convecção o de Rayleigh-Bénard-Poiseuille estratificada e os resultados obtidos foram suficientes para esclarecer muitas das características deste problema, permitindo um melhor entendimento da origem e interação dos diversos modos de instabilidade.<br>

Abstract : The presence of horizontal flow in systems where a vertical temperature gradient can leads to heat transfer by natural convection is widely observed in several technological applications, such as co-extrusion process and oil-water flows, as well as can occur in natural phenomena such as atmospheric flow and mantle convection. Despite the high relevance to both theoretical and practical applications, the influence of the shear flow on the onset of natural convection is poorly understood, particulary in multiphase systems. The main objective of the study herein reported is to investigate the stability of a system where two superposed immiscible fluids are subject to a pressure gradient inducing horizontal flow and a vertical temperature gradient that induce heat transfer by natural convection if the temperature difference between the horizontal walls reaches a critical value. This system comprehends several characteristics present in other classical flow structures, which stability features are well known, and therefore it is named as Stratified Rayleigh-B´enard-Poiseuille convection. Two different numerical approaches were used to analyze this system. The first one was a linear stability analysis where normal modes were used to express the temporal dependence and spatial distribution along the horizontal direction of the field variables. Each normal mode is related to a disturbance and the dynamic behavior of this disturbance defines the system stability. Whenever the disturbance amplitude decreases along the time and eventually disappears the system will be stable, otherwise it will be unstable. The second numerical approach used was the direct numerical simulation of the governing equation through computational fluid dynamics techniques. The results obtained with both methodologies are in good agreement, showing similar responses to the change in certain parameters. Due to the large number of phenomena governing the system stability, this study focuses in a restricted part of the parameters spectrum, selected mostly to allow the determination of the minimum value that the Rayleigh number must achieve in order to natural convection be possible and the different ways in which the system can self-organize when this happens. Different coupling modes between the bottom and top layers were identified and characterized, as well as the intervals where each mode appears as the most unstable. Competition between different instability modes can change the velocity and temperature profiles significantly and can even leads to situations where the system continuously oscillate between two different natural convection patterns. However, the presence of shear flow inhibits the development of oscillatory states, even at very low Reynolds numbers. This happens because the shear flow affects each instability mode in a different way and the equilibrium between the forces needed to keep the oscillatory state is broken. The existence of an interface separating the system in two layers offers an additional problem. The interface itself can induce the formation of convective cells due to the thermocapillary effect or can be deformed as a result of the velocity field, generating local changes in the layers depth. Moreover, results provided by direct numerical simulation using the volume of fluid method to capture the interface position shows that when the Rayleigh number is substantially greater than the critical value and the density difference between the layers is not enough to stabilize the interface, the approximation given by the normal modes is no more accurate and complex structures with a high interface deformation can appear. Despite the difficulties associated with the numerical and mathematical modeling of this flow structure, the approach adopted in the present study proved to be appropriate to analyze the stability of the stratified Rayleigh-B´enard-Poiseuille convection and the acquired results were adequate to elucidate many of the flow stability properties, allowing a better understanding about the origin and interaction of several instability modes.