Métodos de Maz'ia e Landweber para o problema de Cauchy elíptico

Abstract

Nesta dissertação foi trabalhado o clássico exemplo de problema mal posto, o problema de Cauchy elíptico para o operador de Laplace sobre um conjunto ? ? R2 suficientemente regular, onde os dados de Cauchy são fornecidos apenas sobre uma parte da fronteira, G1 ? ??. O objetivo é o de reconstruir o traço da H1(?)-solução da equação de Laplace sobre ??\G1. Para tal finalidade, foi analisado dois métodos iterativos; o método de Maz'ia que consiste em resolver sucessivamente problemas de valor de contorno misto (que são bem postos) utilizando os dados de Cauchy como parte das condições de fronteira e o método de Landweber, baseado na equação normal da condição de otimalidade de primeira ordem para resolver o problema de mínimos quadrados. Através de uma abordagem via análise funcional com uma topologia não usual foi demonstrado a análise de convergência para o método de Maz'ia sob dados exatos; por outro lado, para demonstrar que o método de Landweber é um método de regularização e obter taxa de convergência, a teoria de regularização clássica. Ao final, uma relação entre os métodos foi encontrada, a igualdade entre as iterações, possibilitando, assim, concluir a análise do método de Maz'ia, isto é, sob dados com ruídos. Palavras-chave: Problemas inversos, problemas mal postos, problema de Cauchy elíptico, métodos iterativos de regularização, método de Maz'ia, método de Landweber.<br>

Abstract : This dissertation deals with the classical ill-posed problem example, the elliptic Cauchy problem for the Laplace operator at a suficiently regular set ? ? R2, where the Cauchy data are given only at part of the boundary, G1 ? ??. The goal is to reconstruct the trace of H1 (?)-solution of the Laplace equation at ??\G1. For such purpose, two iterative methods are analyzed; the algorithm of Maz'ia is a method based on solving successively well-posed mixed boundary value problems using the given Cauchy data as part of the boundary data and the Landweber iteration, which is based on the normal equation of the first order optimality condition to solve the nonlinear least square problem. An approach via functional analysis with unusual topology was used to proof the convergence analysis under exact data; on the other hand, to show that Landweber iteration is a regularization method and to obtain a convergence rate, the classical regularization theory was widely used. At the end of this dissertation, a relation between the methods was found, the iterations are equal, allowing to complete the Maz'ia's method analysis, i.e., under noise data. Keywords: Inverse problems, ill-posed problems, elliptic Cauchy problem, iterative regularization methods, Maz'ia algorithm, Landweber iteration.