Desenvolvimento e implementação de um framework para solução de EDPs parabólicas e elípticas com malhas não alinhadas

Abstract

A modelagem de problemas onde a fronteira se modifica constantemente com o tempo pode se tornar desafiadora à medida que a malha tenha a necessidade de se adaptar constantemente. Nesse contexto, métodos computacionais onde a malha não se conforma com a fronteira são de grande interesse. Este trabalho propõe uma abordagem com o Método de Elementos Cortados para resolver equações diferenciais parciais utilizando malhas não alinhadas com o Método de Elementos Finitos. Como resultado da implementação proposta, foi desenvolvido o programa fem-cut-cell-3D, baseado na implementação em elementos finitos pela biblioteca deal.ii. A fim de avaliar matematicamente a implementação, quatro experimentos numéricos foram propostos: o problema clássico de Poisson, em duas e três dimensões; o problema de difusão de Laplace-Beltrami, em duas dimensões; e um caso transiente em duas dimensões de reação-difusão. Efeitos de estabilização da matriz de rigidez foram estudados para o problema de Poisson e Laplace-Beltrami em 2D, e a dependência teórica do número condicional com o tamanho dos elementos foi confirmada. Além disso, um parâmetro ótimo de estabilização foi definido. Taxas de convergência foram calculadas para os três primeiros casos e a estimativa teórica foi confirmada.<br>

Abstract : The modeling of problems where the boundary changes significantly over time may become challenging as the mesh needs to be adapted constantly. In this context, computational methods where the mesh does not conform to the boundary are of great interest. This paper proposes a stabilized cut-cell approach to solve partial differential equations using unfitted meshes using the Finite Element Method. As a result of the implementation of the method, the software fem-cut-cell-3D was developed, based on the implementation of the finite element method by the open source library deal.ii. In order to mathematically evaluate the method, four problems were proposed: the classical Poisson problem, in two and three dimensions; a pure diffusion Laplace-Beltrami problem, in two dimensions; and a reaction diffusion case in two dimensions. Stabilization effects on the stiffness matrix were studied for the Poisson and Laplace-Beltrami problems in 2D, and the theoretical dependence of the condition number with mesh size was confirmed. In addition, an optimal stabilization parameter was defined. Optimal convergence rates were obtained for the first three test cases.