Propriedades assintóticas para um problema semilinear de equações de evolução de segunda ordem com potências fracionárias

Abstract

Neste trabalho estudamos existência e unicidade de soluções e tambémo comportamento assintótico de soluções para equações diferenciaisde evolução de segunda ordem no tempo com operadores fracionáriosde Laplace em Rn. Nós obtemos melhores taxas de decaimentocom menos hipóteses nos dados iniciais quando comparado a resultadosanteriores na literatura. Para certos casos, observamos que a estruturadissipativa da equação é do tipo de perda de regularidade. Devido aessa estrutura especial, quando obtemos estimativas na região de altafrequência no espaço de Fourier, é necessário impor regularidade adicionalnos dados iniciais para obter a mesma estimativa de decaimentoda região de baixa frequência. Os resultados obtidos neste trabalhopodem ser aplicados para vários problemas de valor inicial de equaçõesde segunda ordem, como por exemplo, equação da onda, equação deplacas, equação IBq, entre outras.

Abstract : In this work we study the asymptotic behavior of solutions for evolutiondifferential equations of second order in time with fractional Laplaceoperators in Rn. We improve decay rates with less demands onthe initial data when compared with previous results on the subject.In certain cases, we observe that the dissipative structure of the equationis of regularity-loss type. Due to that special structure, when weget estimates in the region of high frequencies in the Fourier space itis necessary to impose additional regularity on the initial data to obtainthe same decay estimates as in the region of low frequencies. Theresults obtained in this work can be applied to several others initialvalue problems of second order equations, such as wave equation, plateequation, IBq equation, as well.