Método de restauração inexata aplicado ao problema de minimização com restrições de ortogonalidade

Abstract

Neste trabalho, apresentamos e estudamos o Algoritmo de Restauração Inexata não monótono para resolver problemas de minimização com restrições de ortogonalidade, que combina o método de Restauração Inexata de Fischer e Friedlander [1] e o critério de não monotonia de Zhang e Hager [2]. Desenvolvemos as ferramentas teóricas para caracterizar o subespaço tangente do conjunto viável, o qual nos permite descrever o Algoritmo proposto. Mostramos, sob certas hipóteses, a boa definição do Algoritmo assim com a convergência global a pontos viáveis do problema. O método de Restauração Inexata é um métodoiterativo que consta de duas fases: viabilidade e otimalidade. Neste trabalho a fase de viabilidade será feita de forma exata utilizando a transformação de Cayley. Portanto, sequência de pontos restaurados pertencem ao conjunto viável. Na fase de otimalidade, as direções de descida podem ser obtidas da seguintes maneiras: o gradiente espectral projetado ou a minimização de uma aproximação quadrática para o Lagrangiano restrito ao subespaço tangente. Para resolver este ultimo problema utilizamos o método de gradiente conjugado [3]. A implementação computacional do algoritmo proposto é realizado no software MATLAB e é comparado com o método de Wen e Yin [4] e com o método Gradiente Conjugado do pacote ManOpt [5] para diferentes problemas testes da literatura.

Abstract : In this work, we present and study the non monotone algorithminexact restoration to solve minimization problems with orthogonalityconstraints, which combines the Inexact Restoration Method of Fischerand Friedlander [1] and the nonmonotone criteria of Zhang and Ha-ger [2]. We develop the theoretical tools to characterize the subspacetangent of the feasible set, which allows us to describe the proposedalgorithm. We show, under certain hypotheses, the good definitionof the Algorithm as well as the global convergence to viable points ofthe problem. The inexact restoration method is an iterative methodthat consists of two phases: viability and optimality. In this work,the feasibility phase will be obtained in an exact way by using Cayleytransformation. Therefore, the sequence of restored points belong tothe viable set. In the optimality phase, the descent directions can beobtained in two ways: projected spectral gradient or minimization of aquadratic approximation for the Lagrangian, both on the tangent subspace. To solve this minimization we use the conjugate gradient method[3]. The computational implementation of the proposed algorithm isperformed on MATLAB software and is compared with the Wen andYin method [4] and the Conjugated Gradient method from ManOpt [5]library for different test problems in the literature.