Problemas fracionários de Cauchy com operadores quase setoriais

Abstract

O estudo da teoria do cálculo fracionário é uma questão de interesse atual em muitas áreas da ciência e engenharia. Motivados por essa justificativa, dedicamos este trabalho ao estudo das equações diferenciais abstratas com derivadas fracionárias na variável do tempo. Em um primeiro momento introduzimos todos os prérequisitos para o estudo dos semigrupos analíticos e seus geradores; abordamos ainda a existência e unicidade de soluções para equações diferenciais abstratas clássicas com operadores setoriais. Depois introduzimos todos os conceitos básicos necessários para o entendimento das derivadas fracionárias de Caputo, das funções de Mittag-Leffler, das funções de tipo Wright e por fim estudamos a exitência e unicidade de soluções para equações diferenciais abstratas com derivadas fracionárias na variável do tempo e operadores setoriais. Finalmente abordamos os operadores quase setoriais e as equações diferenciais abstratas com derivadas fracionárias na variável do tempo relacionadas a estes operadores; discutimos uma justificativa do motivo de se estudar este tipo de operador e analisamos a existência e unicidade de soluções mild e clássica para este problema, tanto no caso linear quanto no caso não linear.

Abstract : The study of the fractional calculus theory is a matter of current interest in many areas of science and engineering. This is why we dedicate this work to the study of the abstract differential equations with time fractional derivatives. At first we introduced the prerequisites for the study of the analytic semigroups and their generators; we also discuss the existence and uniqueness of solutions for classical abstract differential equations with sectorial operators. Then we introduce the basic concepts concerning Caputo fractional derivative, the Mittag-Leffler functions, the Wright-type functions and finally we address the existence and uniqueness of solutions for abstract differential equations with time fractional derivatives and sectorial operators. Finally we discuss the almost sectorial operators and the abstract differential equations with time fractional derivatives related to them; we discuss some reasons for the study of this kind of operator and analyze the existence and uniqueness of mild and classical solutions to this problem, both in the linear and nonlinear case.