Reconstrução de dados de fronteira associados à equação de Poisson

Abstract

Nesta tese, estudamos métodos de reconstrução do coeficiente de transferência de calor convectivo, embutido como condição de fronteira do tipo Robin associada à equação de Poisson numa região anular. A reconstrução é realizada utilizando-se informações da temperatura na borda externa da região como dado de entrada, por meio de uma técnica de linearização, a qual consiste em obter o coeficiente convectivo de calor através da determinação do fluxo de calor na borda interna da região. Neste contexto, estudamos o problema direto empregando as seguintes abordagens: o método de colocação pseudoespectral de Chebyshev, a análise de Fourier e o método de Galerkin.Para o problema inverso, usando a técnica pseudoespectral, mostramos que as aproximações do fluxo são recuperadas através da resolução de um sistema linear mal condicionado. Para contornar as dificuldades decorrentes dos dados de entrada serem inexatos e do mal condicionamento do sistema, as estimativas do fluxo serão recuperadas via técnicas de regularização: a decomposição em valores singulares truncados e regularização de Tikhonov. Em todos os casos, os parâmetros e regularização são determinados pelo Princípio da Discrepância. Na segunda parte da tese, usando a análise de Fourier, mostramos resultados de existência e unicidade da solução do problema direto assim como, uma relação linear entre o fluxo e a temperatura na parede externa do tubo. Com base nestes resultados, utilizamos a expansão truncada de valores singulares e regularização de Tikhonov como métodos para construir aproximações do fluxo de calor. A ultima parte da tese aborda a reconstrução do fluxo de calor e do coeficiente convectivo através do método de Galerkin. Mostramos que este método é apropriado para casos práticos em que os dados de entrada são discretos. Para validar o modelo matemático, utilizamos dados sintéticos e experimentais encontrados na literatura. Os resultados numéricos são comparados em termos de aproximação e tempo de execução.

Abstract : In this thesis, we study reconstruction methods for the convective heat transfer coefficient inserted as a Robin boundary condition of a Poisson equation in an annular region. The reconstruction is carried out using temperature information on the external boundary as input data. Our ain tool is a linearization technique, which replaces the problem of reconstructing the convective heat transfer coefficient for that of reconstructing the heat flux distribution. With the heat flux at hand, the heat transfer coefficient is readily obtained. For this we study the direct problem using the following approaches: a collocation pseudospectral Chebyshev method, a Fourier analysis and an approach based on the Galerkin method. For the inverse problem, using the pseudospectral technique, we show that heat flux approximations can be recovered by solving an ill-conditioned linear system. To overcome the difficulties arising from both the input data being inaccurate and the ill-conditioning of the system, the flow estimates are recovered through truncated Singular Value Decomposition (TSVD) and Tikhonov regularization (TR). In all cases, the regularization parameters are determined by the Discrepancy Principle (DP). The second part of the thesis describes Fourier analysis results about existence and uniqueness of solutions of the direct problem as well as, a linear relation between the heat flux and the temperature on the external boundary. Then, using these results, we derive reconstruction methods for heat flux based on the truncated singular value expansion (TSVE) and Tikhonov regularization. The last part of the thesis presents a reconstruction method for the heat flux and the convective coefficient based on the Galerkin method. We show that the method is appropriate for practical cases where input data are discrete. To validate the mathematical model, we used synthetic and experimental data found in the literature. The numerical results are compared in terms of approximation quality and execution time.