Polinômios de Legendre e Quadratura Gaussiana

Abstract

Nesse trabalho começamos apresentando os Polinômios de Legendre, sua dedução via resolução da equação diferencial de Legendre, a função geratriz dela, suas principais propriedades, tais como sua fórmula de recorrência, seus critérios de ortogonalidade, que são a ortogonalidade entre dois polinômios de Legendre de graus diferentes e ortogonalidade entre um polinômio de Legendre e um polinômio qualquer de grau menor, a sua “norma”, o comportamento das raízes do polinômio, entre outras. Também será apresentado a Fórmula de Rodrigues e uma breve passagem pelas séries de Fourier-Legendre. Em seguida será apresentada a Quadratura Gaussiana, visando mostrar a “importância” dos polinômios de Legendre para a obtenção do método (a quadratura). Essa quadratura funciona em um intervalo real específico, e será apresentado como realizar uma mudança de variáveis para que a quadratura seja usada em intervalos reais quaisquer. Será apresentado também como a quadratura se comporta quando se têm problemas envolvendo integrais duplas, como resolver esses problemas e novamente, como realizar mudança de variáveis para que a quadratura seja usada em regiões retângulares arbitrárias no R2.