Indicadores equilibrados de erro em funcional de interesse para aproximação de problemas elípticos e parabólicos pelo método de Galerkin descontínuo

Abstract

Este trabalho apresenta resultados teóricos e práticos sobre indicadores de erro equilibrados para funcional de interesse na aproximação de problemas elípticos lineares e parabólicos lineares e não-lineares pelo método de Galerkin descontínuo. A introdução dos fluxos equilibrados na representação do erro no funcional de interesse permite melhorar a qualidade do indicador de erro que é um primeiro resultado importante deste trabalho (no caso parabólico). A segunda contribuição do trabalho é a aproximação da solução do problema dual, que faz parte da representação do erro, pelo método de Galerkin descontínuo de ordem mais alta que o método primal. Neste caso, o indicador de erro torna-se assintoticamente exato. A construção de indicadores de erro em funcional de interesse para o método de Galerkin descontínuo no tempo e no espaço para problemas parabólicos lineares e não-lineares é a terceira contribuição deste trabalho. Todas as técnicas acima mencionadas usam recuperação equilibrada de fluxo discreto em espaço de Raviart-Thomas. A reconstrução de fluxo equilibrado numa base específica em espaços de Raviart-Thomas de alta ordem é mais uma contribuição importante. Resultados numéricos são apresentados no decorrer do trabalho para demonstrar a eficiência dos métodos apresentados. Os indicadores de erro também são utilizados para adaptação meta orientada em vários testes numéricos.

Abstract : This thesis presents theoretical and practical results on equilibrated error indicators for functional of interest in the approximation of linear elliptic problems and linear and non-linear parabolic problems by the discontinuous Galerkin method. The introduction of the equilibrated fluxes in the representation of the error in the functional of interest allows to improve the quality of the error indicator that is a first important result of this work (in the parabolic case). The second contribution of the work is the approximation of the solution to the dual problem, which enters in the representation of error, by the discontinuous Galerkin method of order higher that of primal method. In this case, the error indicator becomes asymptotically exact. The construction of error indicators for functional of interest for the discontinuous Galerkin method in time and space for linear and nonlinear parabolic problems is the third contribution of this work. All of the above techniques use equilibrated reconstruction of discrete flux in Raviart-Thomas space. Equilibrated flux reconstruction on a specific basis in high-order Raviart-Thomas spaces is another important contribution. Numerical results are presented in the course of the work to demonstrate the efficiency of the developed methods. Error indicators are also used for goal oriented mesh adaptation in various numerical experiments.