Existência de soluções fortes T-periódicas para um sistema magneto-elástico e para um sistema de ferrofluidos

Abstract

Este trabalho está dividido em duas partes. Na primeira parte estabelecemos a existência de soluções fortes $T$-periódicas no tempo (período $T$) para um sistema magneto-elástico. O nosso principal resultado é para o caso em que o sistema tem dissipação mecânica linear e acoplamentos não lineares, que inclui uma força externa $T$-periódica. Provamos também a estabilidade condicional assintótica das soluções periódicas obtidas com a energia total das perturbações decaindo para zero no tempo de forma exponencial. Consideramos também o sistema no caso em que a dissipação mecânica é não-linear, com a não-linearidade do tipo $\rho(u_{t})=|u_{t}|^{p}u_{t}$ e acoplamentos lineares. Com hipóteses adequadas sobre $\rho$, provamos a existência e a unicidade de soluções fortes $T$-periódicas no tempo para $p \in [3,4]$. Na segunda parte deste trabalho, provamos a existência de soluções $T$-periódicas fracas (em dimensão 3) e fortes (dimensão 2) para as equações diferenciais parciais do modelo para ferrofluidos de Rosensweig, sob ação de uma função $T$-periódica nas equações para o campo magnético.

Abstract : This work is divided in two parts. In the first part, we establish the existence of strong time-periodic (period $T$) solutions of a magnetoelastic system. Our main result is obtained in the case where the equations are nonlinearly coupled and the mechanical dissipation is linear, and a $T$-periodic external force is applied to the body. We also proved asymptotic conditional stability of thesolutions obtained, with the total energy of the pertubations decaying exponentially to zero in time. We considered also the system in the case where the mechanical dissipation is nonlinear, of the type $\rho(u_{t})=|u_{t}|^{p}u_{t}$, but the coupling terms are linear. Under suitable hypotheses on $\rho$, we proved the existence and uniqueness of strong time-periodic solutions (period $T$) when $p \in [3,4]$. In the second part of the work, we proved the existence of $T$-periodic solutions weak (in dimention 3) e strong (in dimention 2) for the partial differential equations that describe the model for magnetic fluids of Rosensweig. In this model, the $T$-periodic forcing appears in the magneto-static equations.