As equações de Navier-Stokes 2D sobre alguns domínios ilimitados: existência, unicidade e estudo do atrator global

Abstract

Considere R2 um aberto (limitado ou ilimitado) sem hipótesesadicionais sobre a regulariadade de sua fronteira @, assumindo apenasque vale a desigualdade de Poincaré sobre , ou seja, existe 1 > 0 talque Z2dx 11Zjrj2 dx; 8 2 H10() :A formulação variacional do problema de valor inicial e de fronteirapara as equações de Navier-Stokes 2D de um uido homogêneo e incompressível pode ser expressa da seguinte forma: se f 2 V 0 e u0 2 H,então existe uma única função u 2 L2(0; T; V ) \ L1(R+;H), 8 T > 0,que satisfazddt(u; v) + ((u; v)) + b(u; u; v) = hf; vi ; 8v 2 V;u(; 0) = u0():Deste problema podemos denir um semigrupo contínuo fS(t)gt0 emH, dado por S(t)u0 := u(t), com u sendo a solução encontrada. Daequação de energia associada, provamos a existência de um conjuntoabsorvente e mostramos que o semigrupo é assintoticamente compacto,obtendo assim, um atrator global que possui as dimensões de Hausdore fractal nitas.

Let R2 be an open subset (bounded or unbounded) withoutany regularity assumption on its boundary @, in which we only assumethat Poincaré's inequality holds, i.e., there exists 1 > 0 such thatZ2dx 11Zjrj2 dx; 8 2 H10() :The variational formulation of the initial and boundary value problemto the 2D Navier-Stokes equations of a homogeneous and incompressibleuid can be expressed as follows: if f 2 V0 and u0 2 H, thenthere exists a unique function u 2 L2(0; T;V) \ L1(R+; H), 8 T > 0,which satisesddt(u; v) + ((u; v)) + b(u; u; v) = hf; vi ; 8v 2 V;u(; 0) = u0():This problem allows us to dene a continuous semigroup fS(t)gt0 inH, by S(t)u0 := u(t), where u is the unique solution mentioned above.With the associated energy equation we prove the existence of an absorbingset and that the semigroup is asymptotically compact, thusobtaining a global attractor which has nite Hausdor and fractal dimensions.