Identidade e indiscernibilidade: um tratamento categorial

Abstract

Os conceitos de identidade e de indiscernibilidade são conceitos relacionados. Informalmente, entende-se por identidade aquela propriedade ou relação que um objeto tem somente com ele mesmo e com nada mais. Quando dizemos que dois objetos são idênticos, queremos afirmar que na verdade não há dois objetos, mas apenas um, ou seja, que eles são o mesmo objeto. Indiscernibilidade diz respeito ao partilhamento de propriedades. Dois objetos são indiscerníveis, ou indistinguíveis, se têm as mesmas propriedades. Esses conceitos são considerados equivalentes na matemática padrão, isto é, aquela que pode ser desenvolvida em um sistema como a teoria de conjuntos Zermelo-Fraenkel, NBG, NF ou outra das teorias comuns de conjuntos e nas lógicas de ordem superior (teoria de tipos). É claro que se pode questionar essa suposta equivalência de um ponto de vista estritamente filosófico ou, como se diz, da poltrona . No entanto, foi o surgimento das teorias quânticas com seus objetos fundamentais que ofereceu aos filósofos (da física, principalmente) a oportunidade de questionar a referida equivalência entre identidade e indiscernibilidade. Partículas elementares tanto na mecânica quântica não relativista quanto nas teorias quânticas de campos aparentemente podem partilhar todas as suas propriedades sem que resultem ser a mesma partícula. O tema é controverso e instigante. Podemos assumir que existem entidades (objetos físicos, principalmente) que sejam absolutamente indiscerníveis? Isto é, partilhando todas as suas propriedades sem que resultem ser o mesmo objeto? De um ponto de vista lógico, não há qualquer restrição. A teoria de quase-conjuntos é uma teoria matemática que permite que essa hipótese seja considerada formalmente. Trata-se de uma teoria que permite a existência (ainda que não a postule) de coleções de objetos absolutamente indiscerníveis, em algum sentido desse termo, sem que resultem ser o mesmo objeto. Claro que ela pode ser estudada de um ponto de vista estritamente matemático, independentemente de considerações quânticas. É o que se pretende fazer aqui, porém sob uma ótica categorial. Usando a física quântica apenas como motivação heurística, oferecemos um tratamento categorial à questão da indiscernibilidade, propondo novos problemas a serem investigados pelos filósofos da matemática e, por que não, da física. Nesta tese, apenas introduzimos o assunto, colocando-o sob o devido contexto. Para isso, e em virtude de ser uma tese filosófica, não pressupomos muito do leitor, assim que providenciamos, nos capítulos iniciais, uma breve revisão dos conceitos básicos tanto de teoria de categorias (capítulo 2) quanto da teoria de quase-conjuntos (capítulo 4), sem no entanto pretender uma abordagem completa a qualquer desses temas. O cerne deste trabalho está no capítulo 5, no qual propomos uma estrutura matemática que denominamos de quase-categoria, inspirada na definição padrão de categoria, visando captar a noção quase-conjuntista de coleções de objetos indiscerníveis. Assim como a categoria Set é um caso especial de uma categoria, teremos a quase-categoria Q-set como modelo de nossa axiomática. Aqui, Q-set representa a coleção de todos os quase-conjuntos, que serão os objetos de nossa quase-categoria, sendo as quase-funções (um conceito da teoria de quase-conjuntos) os morfismos. Já as considerações filosóficas são postas ao final.

Abstract : The concepts of identity and indiscernibility are related concepts. Informally speaking, identity is understood as that property (or relation) an object has only with itself and with nothing else. When we say that two objects are identical, we are saying which in fact there are not two objects, but just one, that is, they are the very same entity. Indiscernibility concerns the sharing of properties. Two objects are indiscernible, or indistinguishable, if they share the same properties. These concepts are considered equivalent in standard mathematics (the one that can be developed in a system like the Zermelo-Fraenkel set theory) and in higher-order logics (type theory). Of course, this supposed equivalence can be questioned from a strictly philosophical point of view, or, as it were, ``from the armchair.'' However, it was the emergence of quantum theories with their fundamental ``objects'' that offered philosophers (especially philosophers of physics) the opportunity to question the equivalence between identity and indiscernibility. Elementary particles in both non-relativistic quantum mechanics and in quantum field theories apparently can share ``all'' their properties without being the same particle. The subject is controversial and provocative. Can we assume that there are entities (physical objects, mainly) that are absolutely indiscernible, sharing all their properties without being the same object? From a logical point of view, there is no restriction. Quasi-set theory is a mathematical theory that allows this hypothesis to be formally considered. It is a theory which allows the existence of collections of objects which may be absolutely indiscernible (in some sense of that term) without being the same object. Of course, the theory can be studied from a strictly mathematical point of view, regardless of quantum considerations. That is what we intend to do here from a categorical point of view. Using quantum physics only as a heuristic motivation, we offer a categorical treatment to the notion of indiscernibility, by proposing new problems to be investigated by the philosophers of mathematics and, why not, of physics. In this thesis, we only introduce the subject, placing it under the proper context. For this, and because it is a philosophical thesis, we do not presuppose much from the reader, so we have provided in the opening chapters a brief review of the basic concepts of both category theory (chapter 2) and quasi-set theory (chapter 4), without intending a complete approach to any of these themes. The core of this work is in chapter 5, in which we propose a mathematical structure that we call quasi-category, inspired by the standard definition of the category, aiming to capture the quasi-set-theoretic notion of collections of indiscernible objects. Just as the Set category is a special case of a category, we will have the quasi-category Q-Set as the model of our axiomatics. Here, Q-Set represents the collection of all quasi-sets, which will be the objects of our quasi-category, with quasi-functions (a concept taken from quasi-set theory) being the morphisms. Philosophical considerations are discussed in the final chapter.