Cohomology for partial actions of Hopf algebras

Abstract

Neste trabalho, formulamos uma teoria de cohomologia para ações parciais de álgebras de Hopf cocomutativas sobre álgebras comutativas. Ela generaliza tanto a teoria de cohomologia para álgebras de Hopf introduzidas por M. E. Sweedler como também a teoria da cohomologia para ações parciais de grupo, introduzidas por M. Dokuchaev e M. Khrypchenko. Alguns exemplos não triviais, ou seja, não provenientes de grupos, são construídos. Ainda, dada uma ação parcial de uma álgebra Hopf cocomutativa H sobre uma álgebra comutativa A, definimos uma nova estrutura, nomeada à que possui os mesmos grupos de cohomologia da álgebra original A. Essa estrutura é interessante pois possui estrutura de álgebra de Hopf sobre o anel comutativo E(A) e H permanece agindo parcialmente sobre Ã. Por fim, verificamos a relação do segundo grupo de cohomologia, H2(H,A), com extensões cleft parciais de álgebras comutativas por ações parciais de álgebras de Hopf cocomutativas e provamos que extensões cleft parciais podem ser vistas como extensões cleft de Hopf algebroides.

Abstract : In this work, the cohomology theory for partial actions of cocommutative Hopf algebras over commutative algebras is formulated. This theory generalizes the cohomology theory for Hopf algebras introduced by Sweedler and the cohomology theory for partial group actions, introduced by Dokuchaev and Khrypchenko. Some nontrivial examples, not coming from groups are constructed. Given a partial action of a cocommutative Hopf algebra H over a commutative algebra A, we prove that there exists a new Hopf algebra Ã, over a commutative ring E(A), upon which H still acts partially and which gives rise to the same cohomologies as the original algebra A. We also study the partially cleft extensions of commutative algebras by partial actions of cocommutative Hopf algebras and prove that these partially cleft extensions can be viewed as cleft extensions by Hopf algebroids.