Partial actions of inverse semigroups and their associated algebras

Abstract

Estudamos a interação entre álgebras de Steinberg e skew álgebras de grupos parciais e caracterizamos isomorfismos de skew álgebras de grupos que preservam diagonal, sobre álgebras comutativas, em termos de equivalência contínua de órbitas das ações parciais associadas. Mostramos que qualquer álgebra de Steinberg, associada a um grupoide amplo e Hausdorff, pode ser visto como uma skew álgebra de semigrupos inverso. Provamos que dada uma ação parcial de um semigrupo inverso em um anel comutativo, o skew anel de semigrupo inverso A?S é simples se, e somente se, A é um subanel comutativo maximal de A?S e A é S-simples. Aplicamos este resultado no contexto de ações de semigrupos inversos topológicos para conectar a simplicidade do skew anel de semigrupo inverso associado com propriedades topológicas da ação, e apresentamos uma nova prova do critério de simplicidade para uma álgebra de Steinberg associada a um grupoide amplo e Hausdorff. De maneira semelhante à Exel, construímos o grupoide de germes associado a uma ação parcial de semigrupo inverso. Descrevemos a álgebra de Steinberg de um grupoide de germes amplo e Hausdorff como uma skew álgebra de semigrupo inverso. Também provamos que, sob hipóteses naturais, a direção oposta é válida. Finalizamos esta tese com uma descrição e estudo de equivalência contínua de órbitas para ações parciais topologicamente principais de semigrupos inversos, e aplicamos nossos resultados em álgebras de caminhos de Leavitt.

Abstract : We study the interplay between Steinberg algebras and partial skew group algebras and we characterize diagonal-preserving isomorphisms of partial skew group algebras, over commutative algebras, in terms of continuous orbit equivalence of the associated partial actions. We show that any Steinberg algebra, associated to an ample Hausdorff groupoid, can be seen as a skew inverse semigroup algebra. We prove that given a partial action of an inverse semigroup S on a commutative ring A, the skew inverse semigroup ring A?S is simple if, and only if, A is a maximal commutative subring of A?S and A is S-simple. We apply this result in the context of topological inverse semigroup actions to connect simplicity of the associated skew inverse semigroup ring with topological properties of the action, and we present a new proof of the simplicity criterion for a Steinberg algebra associated with a Hausdorff ample groupoid. In a manner similar to Exel we construct the groupoid of germs associated to a partial action of inverse semigroups. We describe the Steinberg algebra of an ample Hausdorff groupoid of germs as a partial skew inverse semigroup algebra. We also prove that, under natural hypotheses, the converse holds. We finish this thesis with a description and study of orbit equivalence for partial actions of inverse semigroups, and we apply our results in Leavitt path algebras.