Métodos de resolução da equação de Lyapunov e aplicações em redução de modelo

Abstract

Neste trabalho nós tratamos de métodos de resolução da equação de Lyapunov AP+PA^T=-BB^T, com A em R^(nxn) e B em R^(nxm). Num primeiro momento abordamos métodos já conhecidos na literatura como o método ADI (Alternating Direction Implicit) e um método baseado em subespaços de Krylov racionais (RKSM). Ambos os métodos são testados em sistemas dinâmicos descritores esparsos e, para isso, desenvolvemos uma implementação do RKSM específica para esse tipo de sistema, inspirando-se em implementações já feitas com o método ADI. Nós também fazemos uma análise da solução explícita da equação de Lyapunov para identificar em P um autoespaço de A que seja dominante num certo sentido que será definido no trabalho. A partir disso, propomos uma escolha de parâmetros para o método ADI . Essa escolha mostrou-se promissora em testes numéricos que fizemos, principalmente em situações em que o método ADI é utilizado para redução de modelo em sistemas descritores. Essa noção de dominância também é utilizada para determinar a região que contém os parâmetros utilizados no método baseado em subespaços de Krylov racionais (RKSM). Ao realizar testes numéricos notamos uma melhora significativa do método RKSM ao restringir essa região de busca de parâmetros. Nesse trabalho nós também introduzimos um critério de parada auxiliar para redução de modelo via polos dominantes, da qual surge uma nova definição de polos dominantes para sistemas dinâmicos. Por fim, nós introduzimos um método novo para resolução da equação de Lyapunov, baseado em métodos iterativos do tipo splitting para sistemas lineares. O método é construído a partir da formulação de Kronecker da equação de Lyapunov. Apresentamos uma breve análise de convergência do método e ilustramos com algumas aplicações numéricas. Ao final do trabalho fazemos um comparativo entre os métodos para a equação de Lyapunov. A comparação é feita com base na performance dos métodos em exemplos numéricos de redução de modelo. Esses testes evidenciam, dentre outras coisas, as melhorias significativas nos métodos já existentes para resolução da equação de Lyapunov, bem como destaca o potencial do novo método proposto neste trabalho.

Abstract: This doctoral dissertation addressed methods of solving the Lyapunov equation AP + PA^T = ?BB^T, with A em R^(nxn) and B em R^(nxm). At the outset, we discussed methods already known in the literature, such as the ADI (Alternating Direction Implicit) method and the rational Krylov subspace method (RKSM). Those methods were tested on sparse dynamical descriptor systems and, to that end, we developed a way to implement the RKSM method specifically to that type of systems, resorting to implementations already tested with the ADI method. Furthermore, an analysis of the explicit solution of the Lyapunov equation was carried out to identify in P an eigenspace of A which is dominant in a certain direction, which was later defined. Based on that, we proposed a choice of parameters for the ADI method. The choice proved promising in the numerical tests done, especially in situations where the ADI method was used for model reduction of descriptor systems. This notion of dominance likewise served to determine the region containing the parameters used in the RKSM method. In the numerical tests, we noticed a significant improvement of the RKSM method when restricting this parameter search region. In this study, we also introduced an additional stopping criterion for model reduction via the dominant poles, from which comes a new definition of dominant poles for dynamical systems. Lastly, we introduced a new method for solving the Lyapunov equation based on iterative splitting methods for linear systems. The method was created from the Kronecker formulation of the Lyapunov equation. Subsequently, we presented a brief convergence analysis of the method, illustrated with some numerical applications. At the end of the study, we made a comparison between the methods for the Lyapunov equation. The comparison drew on how well the numerical methods performed under model reduction. The tests evinced, among other things, the significant improvements on existing methods, which we proposed to solve the Lyapunov equation, and pointed as well to the potential of the new method herein proposed.