Um estudo das equações de Navier-Stokes com condições de fronteira de tipo Navier

Abstract

Neste trabalho estudamos uma série de resultados relacionados as equações bidimensionais de Navier - Stokes para fluidos incompressíveis em domínios limitados, sujeitos a condição de fronteira de tipo Navier de fricção.O estudo clássico deste problema foi tratado em domínios simplesmente conexos, porém neste manuscrito, seguindo as ideias introduzidas por James Kelliher, estamos assumindo que o domínio em questão possa ser dado como uma união finita de conjuntos conexos com fronteira suficientemente regular.Neste novo contexto, introduzimos alguns espaços importantes para o estudo, fazemos diversas deduções de identidades na fronteira (fato importante já que agora, diferentemente do caso no-slip, temos termos de fronteira para estimar), deduzimos a noção de solução fraca, provamos a existência e unicidade da solução fraca e argumentamos sobre alguns resultados de regularidade.Por fim estudamos o limite invíscido, isto é, para cada coeficiente positivo de viscosidade, consideramos a solução fraca u das equações de Navier - Stokes, e provamos que u converge para a solução fraca das equações de Euler (para fluidos incompressíveis), quando o coeficiente de viscosidade tende a zero pela direita.

Abstract: In this work we study some results related to the two-dimensional Navier - Stokes equations for viscous incompressible fluids in a bounded domain subject to Navier friction-type boundary conditions.The classical study of this problem was done in simply connected domains but in this manuscript, following the ideas introduced by James Kelliher, we are assuming that the domain is given as a finite union of connected sets with sufficiently regular boundaries.Shortly, in this text we introduce some new function spaces, prove several identities at the boundary, deduce the notion of weak solution and prove the existence and uniqueness of such solution. We also prove some results concerning the regularity of the solution.Finally we study the vanishing viscosity limit, that is, for each positive coefficient of viscosity, we consider the weak solution u of the Navier - Stokes equations, and prove that u converges to the weak solution of the Euler equations (for incompressible functions), when coefficient of viscosity tends to zero from the right.