Alguns resultados sobre o grupo de automorfismos em shifts de Markov sobre alfabeto enumerável

Abstract

Um shift de Markov de estado enumerável é um espaço shift para o qual existe um grafo dirigido com uma quantidade enumerável de estados de forma que há uma relação biunívoca entre as sequências do shift e as caminhadas osbre o grafo. O objetivo dessa dissertação é caracterizar o grupo de automorfismos de um shifts de Markov e estado enumerável, isto é, caracterizar o grupo de todos os homeomorfismos sobre o shift de Markov que comutam com o shift map, encontrando sua cardinalidade e consequentemente seus possíveis subgrupos. Em particular, mostraremos que a cardinalidade do grupo de automorfimos de um shift de Markov transitivo está diretamente relacionada a quantidade de pares disjuntos de caminhos de mesmo comprimento e que iniciam e terminam nos mesmos vértices do grafo que representa o shift. Quando houver somente uma quantidade finita de tais caminho, diremos que o shift cumpre a propriedade FMDP (Finitely Many Double Path). A ausência e a presença dessa propriedade e a relação dela com a cardinalidade do grupo de automorfismos do espaço shift é foco central deste trabalho.

Abstract: A countable state Markov shift is a shift space for which there is a directed graph with an countable number of states so that there is a one-toone onto map between the sequences of the shift space and walks on the graph. The aim of this dissertation is to characterize the automorphism group of countable state Markov shifts, that is, to characterize the group of all homeomorphisms of the Markov shift that commute with the shift map, determining its cardinality and consequently its possible subgroups. In particular, we will show that the cardinality of the automorphism group of a transitive Markov shift is directly related to the number of disjoint pairs of paths of the same length that start and end at the same vertices of the graph representing the shift. When there is only a finite amount of such a path, we say that the shift fulfills the FMDP (Finitely Many Double Path) property. The absence and presence of this property and its relation to the cardinality of the shift space group of automorphisms is a central focus of this work.