Três vezes não: um estudo sobre as negações clássica, paraconsistente e paracompleta

Abstract

Poderia haver um único sistema de lógica que permita trabalharmos simultaneamente com negações clássica, paraconsistente e paracompleta? Essas três negações foram separadamente estudadas em lógicas cujas negações levam seus nomes. Inicialmente iremos restringir nossa análise às lógicas proposicionais, analisando a negação clássica, ¬c, tal como tratada pela Lógica Proposicional Clássica (LPC); a negação paraconsistente, ¬p, como tratada através da hierarquia de Cálculos Proposicionais Paraconsistentes Cn (0 = n = ?); e a negação paracompleta, ¬q, como tratada pela hierarquia de Cálculos Proposicionais Paracompletos Pn (0 = n = ?). Ainda que possamos chamar os três conectivos de ?negações?, suas propriedades são distintas de acordo com cada sistema (que, por sua vez, também preservam características metateóricas distintas). Em ?Logics that are both paraconsistent and paracomplete? (1989), Newton da Costa propôs um sistema com características aproximadas ao que buscamos. Na hierarquia de Cálculos Proposicionais Não-Aléticos Nn (0 = n = ?), apenas uma negação é introduzida (como primitiva), chamada de ?não-alética? (¬n), cujo funcionamento pode preservar as propriedades da negação clássica, ou paraconsistente ou paracompleta ? dependendo do bom ou mau comportamento da fórmula a ela conectada. No entanto, como veremos, na hierarquia Nn não podemos reiterar negações com comportamentos diferentes a uma mesma fórmula (e.g., ¬p¬ca ou ¬q¬c¬pa), ou mesmo analisar uma fórmula como ¬ca ? ¬pa. Em vista desses problemas, podemos realmente dizer que a hierarquia Nn nos permite compreender as relações e interações dos três tipos de negações? Para tratarmos disso, posto o problema inicial, apresentaremos quatro sistemas axiomáticos (KG) nos quais, diferente de Nn, as três negações são diretamente introduzidas ? oferecendo também uma semântica e um método de provas por tableaux analíticos. Através dos Sistemas KG mostraremos como as negações interagem, obtendo teoremas não demonstráveis em LPC, Cn, Pn e Nn (0 = n = ?). Por fim, ofereceremos também uma extensão em primeira ordem para os Sistemas KG.

Abstract: Could there be a single logical system that would allow us to work simultaneously with classical, paraconsistent, and paracomplete negations? These three negations were separately studied in logics whose negations bear their names. Initially we will restrict our analysis to propositional logics by analyzing classical negation, ¬c, as treated by Classical Propositional Logic (LPC); the paraconsistent negation, ¬p, as treated through the hierarchy of Paraconsistent Propositional Calculi Cn (0 = n = ?); and the paracomplete negation, ¬q, as treated by the hierarchy of Paracomplete Propositional Calculi Pn (0 = n = ?). In ?Logics that are both paraconsistent and paracomplete? (1989), Newton da Costa proposed a system with approximate characteristics to what we are looking for. In the hierarchy of Non-Alethical Propositional Calculi Nn (0 = n = ?), only one negation is introduced (as primitive), called a ?non-alethic? (¬n), whose operation preserves the properties of classical, or paraconsistent or paracomplete negation ? depending on the well or ill behavior of the formula connected to it. However, as we shall see, in the hierarchy Nn we can not reiterate negations with different behaviors in a same formula (e.g., ¬p¬ca or ¬q¬c¬pa), or even analyze a formula like ¬ca ? ¬pa. In view of these problems, can we really say that the hierarchy Nn allows us to understand the relationships and interactions of the three types of negations? In order to deal with this, given the initial problem, we will present four axiomatic systems (KG) in which, unlike Nn, the three negations are directly introduced ? offering a semantics and a method of proofs by analytic tableaux. Through the KG Systems we will show how the negations interact, obtaining non-demonstrable theorems in LPC, Cn, Pn, and Nn (0 = n = ?). Finally, we will also offer a first-order extension for the KG Systems.