Sistemas ramificados e equivalência unitária de representações da algebra de grafo

Abstract

Nesse trabalho estudaremos representações da álgebra de grafo; num primeiro instante introduziremos a noção de E-sistema ramificado e veremos como tal estrutura induz uma representação da álgebra de grafo. Posteriormente daremos condições suficientes sobre um grafo E para que exista um E-sistema ramificado e veremos algumas consequências desse resultado. Em seguida, dado um grafo E e uma representação qualquer de sua álgebra , encontraremos condições para que tal representação seja unitariamente equivalente a uma representação induzida por um E-sistema ramificado. Finalizaremos encontrando uma classe de grafos para os quais sempre valem as condições citadas acima; o que significa que dada uma representação qualquer de tais grafos é possível encontrar uma outra representação, induzida por um sistema ramificado, de modo que ambas sejam unitariamente equivalentes.

Abstract: In this work we study representations of the graph algebra, in a first moment we introduce the notion of a E-branching system and show how this structure induces a representation of the graph algebra. Moreover, we show sufficient conditions over the graph E so that there exists an E-branching system and show some consequences. After, give a graph E and a arbitrary representation of the correspondent algebra, we find technical conditions so that the representation is unitary equivalent to a representation arising from a E-branching system. Finally, we show a class of graphs for which the technical conditions are always true, this means that given a representation of these graphs algebras it is possible to find other representation, arising from a branching system such that both are unitarily equivalent.