Linhas e raios geodésicos causais em espaços-tempos com aplicações à relatividade

Abstract

O objetivo desta dissertação é revisar as principais técnicas geométricas e topológicas subjacentes às demonstrações dos teoremas de singularidade clássicos de Hawking e Penrose no contexto da geometria Lorentziana, e que têm aplicações cruciais na Relatividade Geral. Matematicamente, esses teoremas descrevem a relação entre a completude de certas geodésicas com outros aspectos da geometria global da variedade, em especial sua curvatura. Essas técnicas não apenas se aplicam aos teoremas de singularidade, mas também são amplamente utilizadas na geometria Riemanniana. Os enunciados e provas dos teoremas de singularidade se apoiam em três classes de estruturas geométricas distintas: a estrutura causal em espaços-tempos, a existência de linhas e raios geodésicos causais em espaços-tempos, e o estudo de pontos conjugados e focais em geodésicas causais, que desenvolvemos em detalhes ao longo deste trabalho.

Abstract: The goal of this dissertation is reviewing the main geometrical and topological techniques underlying the proofs of the classic Hawking and Penrose singularity theorems in the context of Lorentzian geometry, which have crucial applications in General Relativity. In mathematical terms, these theorems describe the relationship between the geodesic completeness of certain geodesics with other aspects pertaining to the manifold?s global geometry, especially its curvature. These techniques are not just applicable to the singularity theorems, but are also amply used in Riemannian geometry. The statements and proofs of the singularity theorems revolve around three distinct geometrical structures: the causal structure of spacetimes, the existence of causal geodesic lines and rays on spacetimes, and the study of conjugate and focal points along causal geodesics, which are developed in detail in this work.