Teoria de comparação de volume na geometria de Lorentz

Abstract

O objetivo principal desta dissertação é desenvolver teoremas de comparação para espaços-tempo globalmente hiperbólicos com tensor de curvatura de Ricci limitado inferiormente em direções temporais. Primeiramente, consideramos a função distância Lorentziana a uma hipersuperfície espacial P, causalmente completa e acausal. Para essa função, apresentamos certas condições de regularidade, destacando-se o fato de ser uma função distância. Em seguida, fixamos um produto torcido (Robertson-Walker) como variedade modelo, e o utilizamos para provar um teorema de comparação para o Laplaciano da distância Lorentziana a P; ou equivalentemente, para a função curvatura média das hipersuperfícies de nível com distância t a P. Usamos esse resultado, juntamente com as fórmulas de variação de área e coárea, para provar um teorema de comparação da área de regiões compactas dentro das hiperfícies de nível. Consequentemente, estabelecemos um resultado comparando o volume de certas regiões entre superfícies de nível com seus correspondentes na variedade modelo. Para a obtenção desses resultados, utilizamos aspectos geométricos globais e aspectos analíticos locais das variedades de Lorentz. Quanto aos geométricos, destacamos a propriedade de hiperbolicidade global, enquanto que os analíticos são fundamentados principalmente pela teoria de comparação da equação de Riccati associada a uma função distância.

Abstract: The main goal of this dissertation is developing comparison theorems for globally hyperbolic spacetimes with Ricci curvature tensor bounded from below along temporal directions. We first consider the Lorentzian distance function to an acausal, causally complete, spacelike hypersurface P. For this function, we present some regularity conditions stemming from the fact that it is a distance function. Then we fix a warped product (Robertson-Walker) as a model space, and use it to prove a comparison theorem for the Laplacian of the Lorentzian distance to P, or equivalently, for the mean curvature function of the level hypersurfaces with distance t to P. We use this result together with the coarea and variation of area formulas, to prove a comparison theorem for the area of compact regions of the level hypersurfaces. As a consequence, we establish a result comparing the volume of certain regions between these level hypersurfaces with their counterparts in the model space. In order to obtain these results, we have used global, geometric aspects, as well as local, analytic tools. As a key geometric aspect we highlight the globally hyperbolic property, while the analytic tools are mainly based on comparison theory for the Riccati equation associated with a distance function.