Variáveis aleatórias e Cadeias de Markov: o problema de completar um álbum de figurinhas e uma proposta de aplicação no Ensino Médio

Abstract

Esta dissertação tem seus estudos baseados nas variáveis aleatórias e Cadeias de Markov. Inicialmente, apresentam-se as definições de elementos chave para compreensão do texto, como probabilidade condicional, variáveis aleatórias e cadeias de Markov. Além disso, mostram-se as definições de matriz de transição e vetor-estado para efetuar os produtos matriciais que levam a probabilidades de experimentos aleatórios sucessivos. Dá-se ênfase nas classificações de cadeias de Markov em absorventes ou regulares. Na sequência, abordam-se três situações-problema que são interpretadas via utilização de Cadeias de Markov. O primeiro problema descreve o lançamento de dados associados a números primos e o segundo está associado a uma hipotética migração em regiões da cidade de Blumenau. Por sua vez, o último traz o problema de completar uma coleção de figurinhas, que consiste em estimar a quantidade de compras necessárias para obter uma chance razoável de completar uma coleção de trinta elementos. Por fim, detalha-se uma proposta de abordagem de Cadeias de Markov no Ensino Médio vinculada aos dois primeiros problemas acima citados.

Abstract: This dissertation concerns about random variables and Markov chains. Initially, we talk about preliminary definitions associated with conditional probability, random variables and Markov chains. Next, we study stochastic matrix and other tools used to find properties associated with successive random experiments. We classify regular and absorbing Markov chains. We also study three problems by using Markov chains? theory. The first one concerns prime numbers in a dice and the second concerns with a hypothetical migration among the regions of Blumenau. The last one addresses the sticker album collector problem. In our study, we estimate the number of cards that should be bought to guarantee reasonable chances to complete a collection with thirty elements. Finally, based on the first two problems, we detail a proposal of treatment of Markov chains in Brazilian secondary school.