Mônadas de Hopf

Abstract

Este trabalho apresenta um estudo das chamadas mônadas de Hopf. Mônadas em geral são uma forma conhecida de se generalizar o conceito de uma álgebra sobre um espaço vetorial e tem grande importância devido a sua relação com adjunções e aplicações, dentro e fora da matemática. Uma vez notada essa generalização, pergunta-se como generalizar demais estruturas tais como coálgebras, biálgebras e álgebras de Hopf no contexto de funtores. É visto que a generalização de coálgebras são funtores com uma estrutura opmonoidal. Alguns resultados importantes incluem que bimônadas são mônadas em categorias monoidais nas quais a estrutura monoidal da categoria de base poder ser levantada para a categoria de Eilenberg-Moore e que mônadas de Hopf são bimônadas em categorias fechadas nas quais a estrutura fechada da categoria de base pode ser levantada para a categoria de Eilenberg-Moore. No decorrer do texto é feita uma introdução de pré-requisitos e um estudo das propriedades de mônadas e de categorias de Eilenberg-Moore, que é um tipo de categoria de módulos sobre uma mônada, incluindo resultados tais como o teorema de comparação e o teorema de monadicidade de Beck. O trabalho também conta com um apêndice no qual é dado o básico da teoria de categorias de modo a torná-lo mais acessível ao leitor sem muita experiência com a área.

Abstract: This work presents the so-called Hopf Monads. Monads are a well-known generalization of algebras over a vector space, with great importance for their relation with adjunctions as well as for their applications in and out of mathematics. Once this generalization is noticed, one can ask how to generalize further structures such as coalgebras, bialgebras and Hopf algebras for the functorial context. We see that the generalization of coalgebras is as functors with an opmonoidal structure. Some important results are that bimonads are monads on monoidal categories whose underlying category has a monoidal structure that can be lifted to the Eilenberg-Moore category, and that Hopf monads are bimonads whose underlying category has a closed structure that can be lifted to the Eilenberg-Moore category. An introduction to prerequesites is developed along the text, as well as a study of the properties of monads and Eilenberg-Moore categories, which are a type of category of modules over monads, including results such as the comparison functor and Beck's monadicity theorem. The text also includes an appendix where the basics of category theory are given to make it more accessible to readers with little experience in the area.