Interação entre dissipação fracionária e memória não linear na existência de soluções para a equação de placas

Abstract

Neste trabalho, consideramos uma equação de tipo de placas com inércia rotacional,sob os efeitos de um amortecimento fracionário e uma não-linearidade de tipo dememória. O objetico desse trabalho é encontrar o expoente crítico p que é limítrofeentre a existência e a não-existência de soluções globais para o problema dado, e entender como o amortecimento fracionário interage com a não-linearidade de memória ecomo essa interação pode interferir em p. Com este fim, encontramos e utilizamos diversas estimativas L? ? Lq com 1 = ? = 2 = q = 1, bem como estimativas (L1 \ Lp) ? Lppara p < 2, um caso delicado para o qual há uma perda na taxa de decaimento.São analisados diversos cenários com base na dimensão n e nos intervalos admissíveis para ? e ?, os parâmetros que caracterizam o amortecimento fracionário e anão-linearidade de memória, respectivamente. Com esse trabalho, concluímos que,embora na maioria dos casos as taxas de decaimento obtidas sejam suficientes paraalcançar o expoente crítico esperado p, há uma combinação específica de intervalosenvolvendo n, ? e ? para a qual a perda nas taxas de decaimento é grande o suficientepara interferir nos resultados de existência, deixando uma pequena lacuna para a quala existência ou a não-existência de soluções globais é desconhecida.

Abstract: In this work, we consider a plate-type equation with rotational inertia, under the effects of a fractional damping and a memory nonlinearity. The objective of this work is to find the critical exponent \overline{p} that is the threshold between existence and non-existence of global solutions for the given problem, and to understand how the fractional damping interacts with the memory nonlinearity and how this interplay may interfere on \overline{p}. To this end, we find and employ several L^\eta-L^q estimates with 1\leq \eta\leq2\leq q\leq \infty, as well as (L^1\cap L^p)-L^p estimates for p<2, a delicate case for which there is a loss in the decay rate. We analyze several scenarios based on the dimension n and on the admissible ranges for \theta and \gamma, the parameters that characterize the fractional damping and the nonlinear memory, respectively. With this work, we conclude that, though in most cases the obtained decay rates are enough to reach the expected critical exponent \overline{p}, there is a specific combination of ranges involving n,\gamma and \theta for which the loss of decay is significant enough to interfere in the existence results, leaving a small gap for which existence or non-existence of global in-time solutions is uncertain.