Modelos de crescimentos populacionais e competições entre espécies: uma introdução ao modelo de Gilpin-Ayala

Abstract

Neste trabalho são apresentados sistemas de equações diferenciais ordinárias, que modelam o crescimento e a competição entre espécies. Para chegarmos a esses modelos, fizemos um estudo dos conceitos básicos de equações diferenciais de primeira ordem. Primeiramente, usamos um problema populacional bem simples para introduzir a ideia de modelagem matemática, que foi aperfeiçoada ao longo do trabalho, para assim, chegarmos a modelos mais próximos da realidade, que é o caso do Modelo de Gilpin-Ayala para crescimento populacional. São feitos estudos de equações autônomas, sistemas de equações diferenciais ordinárias tanto para espécies competindo pelo mesmo recurso natural, quanto para equações predador-presa. Fizemos uma análise qualitativa para melhor compreensão do comportamento das soluções das equações diferenciais, utilizando do plano de fase e os conceitos de estabilidade e instabilidade. Resolvemos de forma computacional os problemas, usando alguns métodos numéricos.

In this work, systems of ordinary differential equations are presented, which model growth and competition between species. To obtain these models, we studied the basic concepts of first order differential equations. Firstly, we used a very simple population-growth problem to introduce the idea of mathematical modeling, which has been refined throughout the work, so that we can arrive at models closer to reality, which is the case of the Gilpin-Ayala model for population growth. Studies of autonomous equations, systems of ordinary differential equations are made both for species competing for the same natural resource and for predator-prey equations. We made some qualitative analysis to better understand the behavior of the solutions of the differential equations, using the phase plane and the concepts of stability and instability. We solve the problems in a computational way, using some numerical methods.