A formalização dedekindiana da aritmética

Abstract

Este trabalho teve como objetivo compreender como o matemático alemão Richard Dedekind construiu uma formalização para os números reais e os números naturais na segunda metade do século XIX. Nesse sentido, ele possui um caráter historiográfico, baseado na leitura e análise dos ensaios publicados por Dedekind sobre o tema. Outras obras de história e filosofia da matemática foram também investigadas para esclarecer o contexto histórico e filosófico por trás dessas publicações, a recepção e repercussão delas, e um pouco da biografia desse matemático. Desse modo, constatou-se que Dedekind utilizou-se de conceitos da então emergente teoria dos conjuntos para fundamentar suas definições. Os trabalhos dele se constituíram então em modelos exemplares da prática que surgia na época de utilizar os conjuntos como base para conceitos matemáticos em geral. Para explicitar isso, buscou-se apresentar e discutir os principais pontos, definições e teoremas que aparecem nos ensaios, visando garantir uma visão geral das obras. Com toda essa análise pôde-se concluir que, apesar de seus trabalhos sobre os fundamentos da aritmética não serem tão famosos ou reconhecidos atualmente, as ideias de Dedekind sobre o tema foram muito ingeniosas e influentes nos desenvolvimentos posteriores da matemática.

This work aims to understand how the german mathematician Richard Dedekind developed his formalization of the real and natural numbers in the second half of the 19th century. Therefore, it has a historiographical theme, being based on the reading and analysis of the essays published by Dedekind about this subject. Other texts about history and philosophy of mathematics were also studied in order to clarify the philosophical and historical contexts behind these publications, their reception and repercussions, and a little bit about the mathematician’s life. Thus, it was found that Dedekind used concepts from the then emerging set theory as a foundation for his definitions. His works were, therefore, exemplary models of the practice that was being developed back then of using sets as basis for mathematical concepts in general. In order to make this explicit, it was sought to present and discuss the primary points, definitions and theorems that appeared in the essays, thereby aiming to give an overview of these works. With these analyses it was concluded that, despite his works on the foundations of arithmetic not being as famous or well recognized nowadays, Dedekind’s ideas about the subject were very ingenious and influent in the later development of mathematics.