O problema de Poincaré para folheações no plano projetivo complexo

Abstract

Este trabalho versa sobre o problema de Poincaré para folheações. Dada uma folheação definida em CP(2), esse problema consiste em determinar se é possível limitar o grau de todas as suas separatrizes pelo grau da folheação. Nesse texto exploramos o problema sob o ponto de vista algébrico e geométrico, exibindo condições necessárias para a resposta positiva do problema. Inicialmente apresentamos a solução do problema quando as separatrizes possuem todas as singularidades do tipo nodal. Em seguida apresentamos a solução no caso em que as singularidades da folheação sobre a separatriz são todas não dicríticas.

Abstract: This work deals with the Poincaré problem for foliations. Given a foliation defined in CP(2), this problem consists in determining whether it is possible to limit the degree of all its separatrices by the degree of foliation. In this text, we explore the problem from an algebraic and geometric point of view, showing necessary conditions for the positive response of the problem. Initially, we present the solution to the problem when the separatrix have all the singularities of the nodal type. Then we present the solution in the case where the singularities of the foliation on the separatrix are all non-dicritical.