Contribution to state estimation of semilinear parabolic distributed parameter systems with applications to transport reaction systems

Abstract

Os sistemas de reação de transporte são descritos por equações diferenciais parciais parabólicas semilineares (PDEs) e são fundamentais em aplicações onde os processos de difusão devem ser considerados explicitamente. O problema de estimação de estado com base em medições distribuídas no domínio não é trivial. Neste trabalho, abordamos esse problema para uma determinada classe de sistemas de reação de transporte. Para realizar essa tarefa, propomos estratégias de projeto do observador no quadro de ambas as abordagens de agrupamento inicial e tardia. Em relação à abordagem de agrupamento inicial para o projeto do observador de estado, usamos o Método dos Resíduos Ponderados (MWR), que abrange o método de colocação ortogonal, para derivar um modelo de ordem reduzida aproximado, expresso como um conjunto de equações diferenciais ordinárias (ODEs) sujeito às restrições algébricas. Em seguida, um método de projeto baseado em Lyapunov é proposto para o modelo de ordem reduzida que fornece condições de projeto suficientes em termos de desigualdades matriciais lineares padrão (LMIs) visando a convergência exponencial do erro de estimativa com uma taxa de decaimento prescrita. O desempenho do observador é ainda melhorado por meio de um algoritmo off-line do posicionamento ótimo dos sensores considerando a parametrização da matriz de saída de ordem reduzida. Com respeito à abordagem de agrupamento tardio, em primeiro lugar, estudamos a representação em operadores de semigrupo que nos leva ao uso das propriedades de decomposição espectral relacionadas aos operadores diferenciais parabólicos. Assim, objetivamos obter condições de síntese de observador de estado suficientes com base nas propriedades locais de Lipschitz das funções do vetor de taxa de reação considerando um ganho de injeção de tipo modal. Em segundo lugar, o método de projeto baseado em Lyapunov é proposto para a estabilização da dinâmica do erro de estimação. A abordagem usa matrizes definidas positivas para parametrizar uma classe de funcionais de Lyapunov que são positivos no espaço das funções integráveis quadradas de Lebesgue. Assim, as condições de estabilidade podem ser expressas como um conjunto de restrições LMI que podem ser resolvidas numericamente usando programação de soma de quadrados (SOS) e ferramentas de programação semi-definida (SDP). Ao longo dos capítulos desta tese, todas essas técnicas e métodos propostos são aplicados e testados numericamente aos casos representativos de processos de reatores tubulares bioquímicos. Os resultados da simulação apoiam a eficácia dos projetos sugeridos. Finalmente, o problema de monitoramento de propagação do COVID-19 é abordado na parte de aplicação desta tese. Em particular, abordamos a estimação de estado do modelo compartimental modelado por um sistema de equações diferenciais parciais, que descreve a propagação da doença infecciosa em uma população hospedeira. O método de projeto baseado em Lyapunov e parametrização polinomial das variáveis de decisão é usado para derivar um problema de programação semi-definida cuja solução fornece os ganhos de injeção do observador de estado do tipo Luenberger. Experimentos numéricos são apresentados para ilustrar a eficiência do método.

Abstract: Transport?reaction systems are described by semilinear parabolic partial differential equations (PDEs) and are fundamental in applications where diffusion processes must be considered explicitly. The state estimation problem on the basis of some in-domain distributed measurements is non-trivial. In this work we address this problem for a certain class of transport-reaction systems. To achieve this task, we propose observer design strategies in the frame of both early and late lumping approaches. Regarding the early lumping approach for the state observer design, we use the Method of Weighted Residuals (MWR), that encompasses the orthogonal collocation method, to derive an approximate reduced-order model, expressed as a set of ordinary differential equations (ODEs) subject to algebraic constraints. Then, a Lyapunov-based design method is proposed for the reduced-order model which provides sufficient design conditions in terms of standard linear matrix inequalities (LMIs) aiming at the exponential convergence of the estimation error with a prescribed decay rate. The observer performance is further improved through an offline optimal sensor placement algorithm considering a parameterized reduced-order output matrix. Concerning the late lumping approach, firstly, we studied the operator semi-group representation which lead us to the use of the spectrum-decomposition properties related to parabolic differential operators. Thus we aimed at obtaining sufficient state observer synthesis conditions based on the local Lipschitz properties of the reaction rate vector functions considering a modal output injection gain. Secondly, a Lyapunov based design method is proposed for the stabilization of the estimation error dynamics. The approach uses positive definite matrices to parameterize a class of Lyapunov functionals that are positive in the space of Lebesgue square integrable functions. Thus, the stability conditions can be expressed as a set of LMI constraints which can be solved numerically using sum of squares (SOS) and standard semi-definite programming (SDP) tools. Throughout the chapters of this thesis, all these proposed techniques and methods are applied and tested numerically to the representative cases of biochemical tubular reactor processes. Simulation results support the effectiveness of the suggested designs. Finally, the COVID-19 spread monitoring problem is addressed in the application part of this thesis. In particular, we tackle the state estimation of the compartmental model based on partial differential equations (PDEs) which describes the spread of the infectious disease in a host population. A Lyapunov based design method with SOS and polynomial parameterization of the decision variables is used to derive a SDP problem whose solution provides the injection gains of the Luenberger type state observer, Numerical experiments are presented to illustrate the method efficiency.