Redução de dimensionalidade aplicada a modelos térmicos de elementos finitos

Abstract

A modelagem de equipamentos elétricos em tempo real é de grande interesse em soluções de engenharia da industria 4.0. Como problemas de engenharia geralmente são modelados por equações diferenciais parciais, a forma mais óbvia de resolvê-los é por discretização, comumente por meio do método de elementos finitos. No entanto, este método tende a gerar sistemas complexos com alto custo computacional de resolução. Apesar do poder computacional de hardware embarcado ser maior do que nunca, simular o mundo físico precisamente nele não costuma ser possível. Por este motivo, há interesse em modelos simplificados que capturam a dinâmica do equipamento não necessitando de grande poder computacional. Neste contexto, o presente trabalho de conclusão de curso busca explorar técnicas matemáticas para a redução de dimensionalidade de modelos térmicos de elementos finitos, ou seja, deixando-os menos custosos computacionalmente, no contexto de equipamentos elétricos. A abordagem escolhida envolve a extração da estrutura matemática da implementação de elementos finitos, aproximação do espaço de todas as possíveis soluções do problema considerando a operação do equipamento e projeção do modelo nesse espaço reduzido. Esse método é bastante simples de implementar para modelos lineares, porém, não-linearidades precisam de tratamento especial. O método foi aplicado a um indutor monofásico resfriado a ar, para o qual foram realizadas análises de acurácia, complexidade e de tempo. Ganhos de tempo de simulações maiores que 95% foram obtidos ainda mantendo-se acurácia de ±2,5 ◦C. As técnicas desenvolvidas são genéricas e podem ser aplicadas a quase qualquer modelo térmico de equipamento elétrico, desde que não inclua hidrodinâmica e que sejam possíveis algumas simplificações. Por fim, para auxiliar na geração das estruturas matemáticas necessárias, softwares open-source foram utilizados para implementação das técnicas apresentadas, sua característica crucial sendo que os mesmos permitem acesso a todas as fases da implementação de elementos finitos.

Modeling electrical equipment in real time is of great interest in the context of industry 4.0 engineering solutions. Since engineering problems are usually in the form of partial diferential equations, the most obvious way to solve them is by discretization often via the finite element method. However, this method tends to generate complex systems that are computationally expensive to solve. Even though embedded hardware is more powerful than ever, simulating the physical world accurately is a task that often far exceeds its capabilities. For this reason, simplified models that capture equipment dynamics while also being computationally undemanding are desirable. With that in mind, this thesis aims to explore a mathematical framework for reducing the dimensionality of thermal finite element models, i.e., making them less computationally expensive, in the context of electrical equipment. The selected approach involves extracting the mathematical structure of the finite element implementation, approximating the space of all possible solutions of the problem that arise from real world conditions and projecting the model into this reduced space. This method is fairly straightforward to implement for linear models, however, nonlinearities will need special treatment. The method was applied to a single-phase air-cooled inductor, for which accuracy, complexity and qualitative time analyses were carried out. Simulation times were reduced by more than 95%, maintaining a ±2.5 ◦C accuracy. The framework developed is generic and can be applied to almost any electrical equipment thermal model, provided it does not include hydrodynamics and that some simplifications are possible. Lastly, in order to aid in the generation of the necessary mathematical structures, open-source software was used to implement the presented techniques, the crucial feature of which being that they allow access to all stages of the finite element implementaion.