Conexidade geodésica e existência de geodésica tipo-tempo fechada em variedades de Lorentz

Abstract

Neste trabalho estudamos dois problemas clássicos da geometria diferencial, a conexidade geodésica em variedades afins e de Lorentz e a existência de geodésicas tipo-tempo fechadas em variedades de Lorentz. No primeiro problema obtemos um resultado, no contexto das variedades afins, de conexidade geodésica que também nos fornece informações sobre a multiplicidade dos segmentos de geodésica e uma versão do teorema de Hadamard-Cartan. Para o caso lorentziano obtemos um resultado de conexidade geodésica por segmento de geodésica tipo-tempo - incluindo a existência de um laço geodésico tipo-tempo - e uma nova versão lorentziana do teorema de Hadamard-Cartan. Com relação ao segundo problema obtemos uma extensão do teorema 1.1 em \cite{flores18} para o caso lorentziano. Além disso, em decorrência da técnica utilizada para obter esta extensão conseguimos generalizar alguns resultados recentes sobre a existência de geodésicas tipo-tempo fechadas já conhecidos na literatura das variedades lorentzianas.

Abstract: In this work we study two classical problems of differential geometry, the geodesic connectedness in affine and Lorentz manifolds and the existence of closed timelike geodesics in Lorentz manifolds. Regarding the first problem we obtain a result, in the context of affine manifolds, of geodesic connectedness that also provides us informations about the multiplicity of geodesic segments and a version of the Hadamard-Cartan Theorem. For the Lorentzian case we obtain a result of geodesic connectedness by timelike geodesic segments - including the existence of a timelike geodesic loop - and a new Lorentzian version of the Hadamard-Cartan Theorem. Regarding the second problem, we obtain an extension of Theorem 1.1 in \cite{flores18} to the Lorentzian case. Furthermore, as a further application of the technique used to obtain this extension, we were able to generalize some recent results on the existence of closed timelike geodesics already known in the literature on Lorentzian manifolds.