A projective splitting algorithm for monotone inclusions with cocoercive operators

Abstract

Neste trabalho, apresentamos um algoritmo iterativo para resolver o problema de inclusão na presença de operadores cocoercivos definidos em espaços de Hilbert com métodos projetivos de decomposição. Primeiramente, introduzimos esses métodos no caso da soma de n operadores em que o problema é o de encontrar um ponto num conjunto solução estendido e utilizar projeções sobre semi-espaços separadores contendo este conjunto. Estes semi-espaços são construídos com pontos no gráfico dos operadores e uma operação de resolvente é necessária para cada operador. Neste caso, a convergência fraca do algoritmo é obtida através de uma condição de separação suficiente. Em seguida, introduzimos um problema de inclusão envolvendo operadores cocoercivos e composições com operadores lineares limitados. Para este problema, apresentamos um algoritmo projetivo de decomposição que explora cocoercividade de forma que o algoritmo resultante envolve um passo forward por cada operador cocoercivo, em contraste com algoritmos prévios na família de métodos projetivos de decomposição, que têm usado apenas passos backward ou dois passos forward. A prova de convergência do último algoritmo com um passo forward requer alguns desvios da estrutura de prova anterior para algoritmos projetivos de decomposição.

Abstract: We present in this work an iterative algorithm to solve the inclusion problem with the presence of cocoercive operators defined in Hilbert spaces under the projective splitting scheme. First, we introduce the projective splitting scheme in the case of the sum of n operators where the problem is posed as the one of finding a point in an extended solution set and make use of projections over separator half-spaces containing this set. These half-spaces are constructed with points in the graph of the operators and a resolvent operation is needed for each operator. In this case, the weak convergence of the algorithm is obtained via a condition of sufficient separation. Next, we introduce an inclusion problem involving cocoercive operators and compositions with bounded linear operators. For this problem is presented a projective splitting algorithm that exploits cocoercivity in such a manner that the resulting algorithm involves one forward step applied to each cocoercive operator, in contrast with prior algorithms in the projective splitting family, which have used only backward steps or two forward steps. The convergence proof of the algorithm with one forward step requires some detours from the previous proof framework for projective splitting.