Asymptotic properties of evolution models with a logarithmic-Laplacian type operator

Abstract

Neste trabalho são considerados alguns problemas de Cauchy em R^n associados a novos modelos de evolução do tipo ondas baseados em um operador logaritmo-Laplaciano introduzido por Charão-Ikehata em [6]. Esse operador que é a composição da função logarítmica com I- \Delta^{\theta}, \theta >0, é mais fraco para dissipar a energia associada à equação da onda com dissipação estrutural, mas produzindo mesmo tipo de estimativas, como se observa nos trabalhos [6, 4]. Essa interessante consequência do uso desse novo operador também ocorre nos problemas estudados neste trabalho. Outra vantagem em usar esse tipo de operador é poder tomar dados iniciais em espaços mais gerais para certos modelos. Para os modelos considerados são estudados perfis assintóticos que ajudam a provar taxas ótimas de decaimento ou blow-up em tempo infinito para a norma L^2 das soluções dependendo da dimensão espacial. O problema considerado no Capítulo 3 possui perfil assintótico do tipo oscilatório. Taxa ótima de decaimento para a solução quando n>=3 é obtida e nos casos n=1,2 mostra-se que a solução explode em tempo infinito exibindo taxa ótima de crescimento. O segundo problema apresenta propriedade de perda de regularidade e devido a isso o seu perfil assintótico é do tipo difusivo para alta regularidade dos dados iniciais, do tipo oscilatório para baixa regularidade e é combinação dos dois tipos para uma regularidade limiar. Também são derivadas taxas ótimas de decaimento dependendo da regularidade imposta nos dados iniciais. O problema considerado no Capítulo 5 apresenta o fenômeno de dupla difusão e obtêm-se taxas ótimas de decaimento para a solução nos casos n>=2. Quando n=1 um parâmetro crítico \theta* =1/4 aparece de modo que a solução do problema decai com certa taxa ótima para \theta em (0, \theta*) e explode em tempo infinito se \theta em [\theta*,1/2) com taxa ótima de crescimento. Ao que parece este tipo de resultado para \theta>=\theta* ainda não tinha sido descoberto em trabalhos de outros autores.

Abstract: In this work, some Cauchy problems in R^n associated to new wave-like evolution models based on logarithmic-Laplacian operator, which was introduced by Charão-Ikehata in [6], are considered. This operator is the composition of the logarithmic function with I-\Delta^{\theta}, \theta >0, and it is weaker to dissipate the energy associated to wave equation with structural damping, but it produces estimates of the same type as observed in works [6,4]. This interesting consequence of using this operator also appears in the problems studied in this work. Another advantage of using this operator is that initial data in more general spaces can be taken to certain models. For the considered models, asymptotic profiles are studied and they help to prove optimal decay or infinite time blow-up rates to the L^2-norm of the solution depending on the spacial dimension. The problem considered in Chapter 3 has wave-like asymptotic profile. Optimal decay rate to the solution is obtained when n>=3 and in the cases when n=1,2 it is shown that the solution blows up in infinite time and optimal growth estimates are showed. The second problem in Chapter 4 presents regularity-loss property and because of that its asymptotic profile is diffusive-like for high regularity of initial data, it is wave-like for low regularity and it is combination of both for a threshold regularity. Optimal decay rates are also derived depending on the regularity imposed on the initial data. The problem considered in Chapter 5 presents double diffusion phenomenon and optimal decay rates are obtained if n>=2. When n=1 a critical parameter \theta*=1/4 appears such that the solution decays with certain optimal estimate for \theta in (0,\theta*) and blows up in infinite time for \theta in [\theta*, 1/2) with optimal growth rate. This type of result for \theta in [\theta*, 1/2) seems to have not been discovered in studies by other authors.