Avanços em técnicas iterativas para problemas inversos lineares e não lineares com aplicação na reconstrução de condutividade térmica

Abstract

Propomos avanços a métodos iterativos para problemas inversos lineares e não lineares, visando expandir a teoria existente e aplicar em situações práticas. Obter soluções estáveis para os chamados problemas discretos mal postos através de técnicas iterativas demanda o uso de critérios de parada especializados. Neste sentido, para um método proposto recentemente por Bazán e Boos, se as iterações são finalizadas através do princípio da discrepância de Morozov, existe uma estimativa ao erro relativo entre a solução exata e a aproximação gerada pelo método. Assumindo uma condição de fonte do tipo Hölder, mostramos que a estimativa pode ser significantemente melhorada, em dois resultados distintos. Uma terceira estimativa é obtida, sem condições adicionais, da ordem do ruído nos dados. Todas fornecem estreitamento ao resultado original que motivou o estudo. No caso não linear, resolver problemas de mínimos quadrados através do método de Levenberg-Marquardt (LMM) é constância na literatura, pela rápida convergência e estabilidade numérica. Diferentes versões propostas ao longo dos anos consideram modificações à matriz de scaling, tradicionalmente a matriz identidade, com a característica de serem não singulares. Estudamos o uso de LMM com matriz de scaling singular, motivados por bons resultados de técnicas similares em problemas lineares através, por exemplo, da regularização de Tikhonov. Verificamos que, sob hipóteses razoáveis, pontos de acumulação da sequência gerada por LMM com scaling singular são pontos estacionários do problema original. Com uso do critério de Armijo para escolha do passo e uma condição de error bound, mostramos que esta convergência ocorre com taxa quadrática localmente, tal qual a versão clássica de LMM. Em aplicações numéricas, estudamos um problema de condução de calor em 2D modelado por uma equação diferencial parcial com condições de fronteira mistas e condição inicial. Conhecer a condutividade térmica de um material é assunto de importância em processos industriais e na ciência, um tópico ativo na pesquisa das últimas décadas. Fornecemos uma forma de discretizar o modelo original através do método pseudo-espectral de Chebyshev nas variáveis espaciais, pelas suas boas capacidades de aproximação com baixo custo numérico, e o método de Crank-Nicolson na variável temporal. O problema inverso de aproximar a condutividade térmica a partir de dados capturados de temperatura é então elaborado como um problema de mínimos quadrados não linear, que faz uso ativo da discretização pregressa. A minimização é feita através de LMM com matrizes de scaling singular escolhidas para representarem operadores de derivação discretos de primeira e segunda ordens, com a intenção de introduzir suavidade nos iterados construídos. Para amenizar o efeito de imprecisões nos dados de temperatura fornecidos, o princípio da discrepância é utilizado como critério de parada. Resultados numéricos sintéticos ilustram as capacidades da técnica proposta, com reconstruções de qualidade a um baixo custo operacional, mesmo em situações com restrições de medição. Um exemplo com dados provenientes de um experimento físico com fonte de calor móvel é conduzido, evidenciando a robustez do método proposto, bem como sua aptidão para aplicação em problemas mal postos não lineares reais.

Abstract: We propose advancements to iterative methods for solving linear and nonlinear inverse problems seeking to expand the existing theory and to apply in practical situations. Obtaining stable solutions for the so-called discrete ill-posed problems through iterative techniques demands the use of specialized stopping rules. In this sense, for a method proposed recently by Bazán and Boos, if the iterations are terminated using the Morozov discrepancy principle, there is an estimate of the relative error between the exact solution and the approximation generated by the method. Assuming a Hölder-type source condition, we show that the estimate can be significantly improved, in two distinct results. A third estimate is obtained, without additional conditions, of the order of the noise in the data. All provide enhancement to the original result that motivated the study. In the nonlinear case, solving least squares problems using the Levenberg-Marquardt method (LMM) is a constant in the literature, due to fast convergence and numerical stability. Different versions proposed over the years consider modifications to the scaling matrix, traditionally the identity matrix, with the characteristic of being non-singular. We studied the use of LMM with singular scaling matrix, motivated by good results of similar techniques in linear problems through, for example, Tikhonov regularization. We verified that, under reasonable assumptions, accumulation points of the sequence generated by LMM with singular scaling are stationary points of the original problem. Furthermore, using Armijo criterion to choose the step and an error bound condition, we show that this convergence occurs with a quadratic rate locally, as the classical version of LMM. In numerical applications, we study a 2D heat conduction problem modeled by a partial differential equation with mixed boundary conditions and initial condition. Knowing the thermal conductivity of a material is a matter of importance in industrial processes and in science, an active research topic in the last decades. We provide a way to discretize the original model through the Chebyshev pseudospectral method in the spatial variables, for its good approximation capabilities at low numerical cost, and Crank-Nicolson method in the time-dependent variable. The inverse problem of approximating the thermal conductivity from captured temperature data is then elaborated as a nonlinear least squares problem that makes active use of the provided discretization. The minimization is done through LMM with singular scaling matrices chosen to represent first and second order discrete derivative operators, with the intention of introducing smoothness in the constructed iterates. To mitigate the effect of inaccuracies in the provided temperature data, the discrepancy principle is used as stopping criterion. Synthetic numerical results illustrate the capabilities of the proposed technique, with high-quality reconstructions at a low operational cost, even in situations with restricted measurements. An example with data from a physical experiment with a mobile heat source is conducted, evidencing the robustness of the proposed method, as well as its capability for application in real nonlinear ill-posed problems.