Étale categories, restriction semigroups, groupoid extensions, and their operator algebras

Abstract

Definimos álgebras de operadores não auto-adjuntas associadas a categorias étale e a semigrupos de restrição, e mostramos também que existe uma versão reduzida para estas álgebras no caso de categorias cancelativas à esquerda e semigrupos de restrição amplos à esquerda. Além disso, definimos a álgebra produto semicruzado de uma ação étale de um semigrupo de restrição em uma C*-álgebra, e esta se torna o componente principal para conectar a álgebra de operadores de um semigrupo de restrição com a álgebra de sua categoria étale correspondente. Mostramos também que nos casos particulares de grupoides étale e semigrupos inversos nossas álgebras de operadores coincidem com as C*-álgebras destes objetos. Além disso, apresentamos uma teoria de classificação geométrica de extensões não Abelianas de groupoides e que generaliza a teoria de classificação de Westman no caso abeliano, bem como a teoria de classificação de extensões de grupo devida a Schreier, Elenberg e Mac-lane. Como aplicação de nossas técnicas, demonstramos que uma extensão de grupoides N ? E ? G dá origem a um produto cruzado por grupoide de G pelo anel de grupoide de N, e este recupera o anel de grupoide de E a menos de isomorfismo.

Abstract: We define non-self-adjoint operator algebras associated with étale categories and restriction semigroups, and we also show that these algebras have a reduced version in the cases where the category is left cancellative and the restriction semigroup is left-ample. Moreover, we define the semicrossed product algebra of an étale action of a restriction semigroup on a C*-algebra, which turns out to be the key point when connecting the operator algebra of a restriction semigroup to the operator algebra of its associated étale category. We also prove that in the particular cases of étale groupoids and inverse semigroups, our operator algebras coincide with the C*-algebras of the referred objects. Furthermore, we present a geometrically oriented classification theory for non-Abelian extensions of groupoids generalizing the classification theory for Abelian extensions of groupoids by Westman as well as the familiar classification theory for non-Abelian extensions of groups by Schreier and Eilenberg-MacLane. As an application of our techniques we demonstrate that each extension of groupoids N ? E ? G gives rise to a groupoid crossed product of G by the groupoid ring of N which recovers the groupoid ring of E up to isomorphism.