Espaços de Lorentz e o teorema da interpolação de Marcinkiewicz

Abstract

O presente trabalho expõe uma teoria básica dos espaços de Lorentz. Primeiramente, são apresentados alguns fatos essenciais da teoria do rearranjo de funções, como a função distribuição e o rearranjo não crescente de uma função mensurável. Usando esses novos conceitos, os espaços de Lorentz são definidos e suas propriedades topológicas são estudadas. Em seguida, após alguns comentários sobre operadores quase-lineares, os teoremas de interpolação de Marcinkiewicz para espaços de Lorentz são enunciados e provados. Através desses teoremas é demonstrada a desigualdade de Hardy-Littlewood-Sobolev, a qual garante, em particular, a continuidade da integral fracionária vista como um operador linear entre dois espaços de Banach.