Teoria espectral e diagonalização de matrizes normais

Abstract

As C∗-álgebras desempenham um papel importante nas ciências, em matemática por exemplo, nos permite “traduzir” certos objetos matemáticos em C∗-álgebras, podendo assim fazer inferências acerca desse objeto utilizando teoremas sobre C∗- álgebras associado ao objeto. Outras aplicações de suma importância é na Física, as C∗-álgebras são úteis na formulação da mecânica estatística e também na caracterização da mecânica quântica. Assim, para estudarmos as C∗-álgebras, é necessário construir alguns conhecimentos prévios, em especial, a análise funcional e a teoria espectral. É nesse sentido que essa pesquisa segue, o objetivo básico é dar os ingredientes teóricos essenciais para começar um debru- çamento acerca das C∗-álgebras, desse modo a concentração desse estudo estará na teoria espectral e no entendimento de alguns resultados que estão relacionados com as C∗-álgebras. A grosso modo, a teoria espectral consiste de estudar o espectro de operadores lineares, que no caso de espaços vetoriais de dimensão finita são o conjunto de autovalores de um dado operador, sendo este estudo fundamental para descrição de operadores lineares normais. Os operadores lineares normais é uma classe de operadores que é comutante quando composto com o seu adjunto, e essa condição permite deduzir resultados muitos úteis para descrição, como a existência de bases ortonormais para um espaço consistindo de autovetores de um operador normal que está sobre esse espaço. Além do que associar e relacionar operadores com matrizes é interessante para darmos uma interpretação matricial para os resultados obtidos com o estudo dos operadores lineares normais. outro resultado importante desse estudo é teorema espectral para operadores normais, O teorema espectral é uma versão algébrica do teorema da diagonalização de matrizes normais e da existência de bases de autovetores de operadores normais, permitindo fazer uma descrição de um operador normal através do seu espectro. Em outras palavras, este resultado permite determinar um operador normal por meio dos seus autovalores e as suas projeções espectrais, ou seja, as projeções ortogonais sobre os autoespaços associados. bem como, este resultado pode ser observado como uma manifestação do teorema de representação de Gelfand para c∗-álgebras comutativas, sobre o qual descreve estas álgebras também através de seu espectro.