Um estudo sobre as séries de Fourier e a solução do problema da equação do calor na barra finita

Abstract

Este Trabalho de Conclusão de Curso contempla resultados de estudos sobre o Problema da Equação do Calor na Barra Finita, no qual reflete-se acerca da existência e unicidade da solução para esse problema. O objetivo do trabalho é estudar, portanto, uma das mais importantes Equações Diferenciais Parciais (EDPs) de segunda ordem, a Equação do Calor. Para isso, de início, realiza-se o estudo do Princípio da Superposição e do Método da Separação de Variáveis para a resolução do problema da EDP do calor na barra finita, o que culmina na definição das Séries de Fourier. Na sequência, estuda-se as noções de convergência pontual e uniforme das Séries de Fourier. Usando elementos de análise, como o Teste M de Weierstrass, mostra-se que as Séries de Fourier estão, de certo modo, associadas à identificação de uma única solução suave para o referido problema que envolve a equação do Calor. Finalmente, trata-se a concepção de dependência contínua de soluções e uma versão do problema sujeito a outros tipos de imposições.

This undergraduate thesis contains studies about the classic Heat Conduction Problem in a Finite Bar, in which is reflected about the existence and uniqueness of the solution for this problem. Therefore, the goal of this final paper is to study one of the most important Partial Differential Equations (PDE) of second order, the Heat Equation. For that, it’s inicially studied the The Principle of Superposition and The Method of Separation of Variables for resolving the Heat Conduction Problem in a Finite Bar, which leads us to the definition of Fourier Series. After that, it’s studied the notion of poinwise and uniform convergences of Fourier Series. By using elements from Analysis, such as the The Weierstrass M test, it’s shown that the Fourier Series are, somehow, assotiated with the identification of a unique smooth solution for the problem that envolves the Heat Equation. Finally, the conception of continuous dependece of solutions is adressed and also it’s presented a version of the Heat Equation problem in which are made different impositions than the ones made in the classical problem.