Teorema do Ponto Fixo de Brouwer em dimensões 1 e 2

Abstract

Neste trabalho, estuda-se o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer em Dimensões 1 e 2, que garante a existência de um ponto fixo sempre que uma função contínua aplica, em R, um intervalo fechado e, em R2, um disco, dentro de si mesmo. O objetivo principal é demonstrar o teorema em cada dimensão proposta, utilizando diferentes estratégias para cada um dos enunciados. Para isso, são discutidos conceitos gerais como funções contínuas, conjuntos compactos e conexos. Além disso, é mostrada a equivalência do Teorema de Brouwer em dimensão 1 com os Teoremas do Valor Intermediário e do Anulamento, ambos estudados em cursos de cálculo diferencial e integral. São demonstrados outros resultados como aplicações do teorema principal, a partir das equivalências comentadas.

In this work, Brouwer’s Fixed Point Theorem is studied in dimensions 1 and 2, which guarantees the existence of a fixed point whenever a continuous function applies, in R, a closed interval and, in R2, a disc, within itself. The main objective is to demonstrate the theorem in each proposed dimension, using different strategies for each of the statements. For this, general concepts such as continuous functions, compact and connected sets are discussed. In addition, the equivalence of Brouwer’s Theorem in dimension 1 with the Intermediate Value and Cancellation Theorems, both studied in differential and Integral calculus courses, is shown. Other results are demonstrated as Applications of the main theorem, from the commented equivalences.