Ideals of partial skew groupoid rings and primeness of groupoid graded rings

Abstract

Dada uma ação parcial de um grupóide G em um anel R, estudamos o anel skew parcial de grupóide RxG associado. Mostramos que há uma correspondência entre os ideais G-invariantes de R e os ideais graduados do anel G-graduado RxG. Fornecemos condições suficientes para que o anel skew parcial de grupóide RxG seja primo e condições necessárias e suficientes para a simplicidade do mesmo. Provamos que todo ideal de RxG é graduado se, e somente se, a ação possui a propriedade da interseção residual. Além disso, se a ação algébrica é induzida por uma ação parcial topológica, mostramos que a ação é minimal se e somente se o anel R é G-simples, a ação é topologicamente transitiva se e somente se o anel R é G-primo e a ação é topologicamente livre em todo subconjunto fechado invariante do espaço topológico se e somente se a ação algébrica possui a propriedade da interseção residual. Como aplicação, caracterizamos a Condição (K) para ultragrafos por meio das propriedades algébrica e topológicas das álgebras de ultragrafos associadas. Além disso, investigamos condições para que anéis graduados por grupóides sejam primos. Provamos uma equivalência para que um anel quase epsilon-fortemente graduado por um grupóide seja primo. Aplicamos nossos resultados para o caso de anel skew parcial de grupóide e obtemos uma caracterização de primalidade para essa classe de anéis.

Abstract: Given a partial action of a groupoid G on a ring R, we study the associated partial skew groupoid ring RxG which carries a natural G-grading. We show that there is a one-to-one correspondence between the G-invariant ideals of R and the graded ideals of the G-graded ring RxG. We provide sufficient conditions for primeness, and necessary and sufficient conditions for simplicity of RxG. We show that every ideal of RxG is graded if, and only if, the action has the so-called residual intersection property. Furthermore, if the algebraic action is induced by a topological partial action, then we prove that minimality of the action is equivalent to G-simplicity of the ring R, topological transitivity of the action is equivalent to G-primeness of R, and topological freeness of the action on every closed invariant subset of the underlying topological space is equivalent to the action having the residual intersection property. As an application, we characterize Condition (K) for ultragraphs by means of algebraic and topological properties of their associated ultragraph algebras. Futhermore, we investigate primeness of groupoid graded rings. We provide necessary and sufficient conditions for primeness of a general nearly epsilon-strongly groupoid graded ring. Moreover, we apply our results to partial skew groupoid rings and get a characterization of primeness for that class of rings.