Predictive control methods for linear parameter varying systems

Abstract

Nesta tese, discute-se, em minúcia, a aplicação de estratégias de Controle Pred- itivo baseado em Modelo (CPM) para processos representados através de modelos Lineares a Parâmetros Variantes (LPV). Modelos LPV, tais como modelos lineares e invariantes no tempo (LIT), apresentam relações lineares entre os canais de entrada e de saída. Todavia, possuem transições de estados não lineares, coordenadas pelos parâmetros variantes. Graças a linearidade entradas-saídas, a análise teórica de dinâmicas LPV recai sobre o arcabouço ferramental LIT, representado em grande parte por funções de armazenamento de Lyapunov, igualdades e desigualdades de Ricatti. Ademais, através da inclusão diferencial, realizações LPV são capazes de descrever uma vasta gama de comportamentos não-lineares e variantes no tempo. Portanto, a síntese de controladores LPV é de sumo interesse escolástico. Controle preditivo, por sua vez, é uma abordagem amplamente reconhecida e estabelecida, tanto no contexto acadêmico e industrial. Estas leis de controle são implementadas através da solução de um problema de otimização a cada amostra discreta. Em geral, as principais estratégias MPC têm sido baseados em modelos LTI, pois quando a dinâmica considerada é não linear, o problema de otimização resultante torna-se numericamente complexo (programas de dificuldade n ão linear), com um crescimento exponencial da carga numérica em relação ao número de estados e tamanho do horizonte de previsão. Por esta razão, pesquisas recentes têm se concentrado em aproximações baseadas em solucionadores que permitem a aplicação de de leis MPC não lineares em tempo real (dentro da faixa dos milissegundos), através de aproximações do problema de otimização, tais como métodos de iteração (ACADO) ou baseados em gradiente e argumentos de Lagrange (GRAMPC). Com relação a este contexto, este tese tem como foco a exploração das diversas representações LPV para o desenvolvimento de algoritmos MPC (não lineares) exatos, com cômputo rápido, sem que haja a necessidade de qualquer tipo de aproximação da otimização. Entretanto, o principal problema que surge é que, quando modelos LPV são utilizados para a síntese de controladores preditivos, o programa de otimização resultante a cada instante requer as trajetórias futuras dos parâmetros de agendamento, ao longo do horizonte de predição Portanto, uma das principais contribuições desta tese é uma nova estratégia para estimar tais trajetórias de agendamento, com base em um mecanismo simples de expansão de Taylor. O mecanismo de extrapolação proposto oferece garantias de convergência e termos residuais com norma limitada. Ademais, como uma segunda contribuição, beneficiando-se dessas esti- mativas dos parâmetros de agendamento, são propostos novos controladores LPV MPC com ganho escalonado. Especificamente, os seguintes elementos são debatidos: (a) um algoritmo de realimentação de estado para sistemas de suspensão semi-ativos, e (b) uma formulação de realimentação de saída usando representações entrada-saída, com garantias de estabilidade. Como terceira contribuição, algoritmos de MPC robustos são desenvolvidos, considerando a questão das incertezas e de perturbações. Especificamente, dois novos arcabouços teóricos são discutidos: (a) um algoritmo de rastreamento de referência com garantias de robustez possibilitadas pelo aperto de restrições com base em zonotopos que propagam as incertezas ao longo do horizonte; e (b) uma abordagem min-max com avaliações de estabilidade de entrada para estado derivadas com base em argumentos de dissipatividade. Ao longo deste trabalho, diversos estudos de caso e exemplos realistas são usados para demon- strar a eficácia das estratégias de controle desenvolvidas. Os algoritmos LPV MPC resultantes mostram-se de grande relevância prática: estes permitem desempenhos ótimos, comparáveis aos obtidos com controladores preditivos não lineares, porém com baixo custo computacional, possibilita, portanto, aplicações complexas embarcadas, operando em tempo-real.

Abstract: This thesis discusses in detail the application of Model Predictive Control (MPC) strategies for Linear Parameter Varying (LPV) models. LPV models, just as standard Linear Time-Invariant (LTI) ones, exhibit linear relationships along the input and output channels, together with time-varying state transitions, which are coordinated by the so-called scheduling parameters. Thanks to input-output linearity along suitable coordinates, the the- oretical analysis of LPV dynamics falls within the scope of the LTI toolkit, represented by Lyapunov storage functions, Ricatti equalities and inequalities. In addition, by the means of differential inclusions, LPV realisations are able to describe a wide variety of nonlinear and time-varying behaviours. Therefore, the synthesis of LPV controllers is of great scholastic interest. Model predictive control, in turn, is a widely recognised and established approach, both in the academic and industrial contexts. This control paradigm is enabled by the solution of an optimization problem at each discrete-time instant. In general, MPC schemes have been based on LTI models, since when nonlinear dynamics are accounted for, the resulting optimi- sation problem becomes numerically complex (NP-hard), with an exponential growth of the numerical burden with respect to the number of states and size of the prediction horizon. As of this, recent research has been focused on solver-based approximations in order to apply nonlinear MPC in real-time (under the millisecond range), such as real-time iteration methods (ACADO) or gradient and Lagrange-based frameworks (GRAMPC). With regard to this context, this thesis focuses on the exploitation of LPV realisations in order to develop exact (nonlinear) MPC strategies with fact computation, without the need for any kind of optimisation approximation. Nevertheless, the main issue that arises is that, when LPV models are used for the synthesis of predictive controllers, the optimization program derived at each sampling instant requires the future trajectories of the scheduling parameters, along the prediction horizon. Accordingly, one of the main contributions of this thesis is a novel strategy to estimate these scheduling trajectories, based on a simple Taylor expansion mechanism. The proposed extrap- olation mechanism offers convergence guarantees and bounded residuals. Thus, as a second contribution, by benefiting from these scheduling parameter estimates, novel gain-scheduled LPV MPC controllers are proposed. Specifically, the following elements are debated: (a) a state-feedback algorithm for semi-active suspension systems, and (b) an output-feedback for- mulation using input-output descriptions, with stability guarantees. As a third contribution, robustified MPC algorithms are developed, considering the issue of uncertainties and disturbances. Specifically, two new frameworks are debated: (a) a reference tracking algorithm with robustness guarantees enabled through constraint tightening with zonotopes that propagate the uncertainties along the horizon; and (b) min-max approach with input-to-state stability assessments derived based on dissipativity arguments. Along this work, several different case studies and realistic examples are used to demonstrate the effectiveness of the developed predictive control schemes. The resulting LPV MPC algo- rithms are shown to be of have great practical relevance: they allow optimal performances, comparable to those obtained with nonlinear predictive controllers, although with low com- putational cost, thus enabling for complex control applications in real-time.