A Integral Fracionária de Riemann-Liouville sobre os espaços lp

Abstract

O estudo do cálculo fracionário cresceu muito nas últimas seis décadas, e cada vez mais está se relacionando com diversas áreas da matemática. Desta forma, ficamos motivados a entender a relação que havia entre o cálculo fracionário e a teoria de semigrupos. É por isso que no primeiro momento introduzimos as funções Gama, função Beta e a função Digamma, as quais, juntamente com suas propriedades, serão fundamentais para a obtenção dos principais resultados discutidos neste texto. Logo em seguida fazemos um breve curso de teoria da medida com o intuito de apresentar três grandes teoremas: o Teorema da Convergência Monótona de Lesbegue, o Teorema da Convergência dominada de Lesbegue e o Teorema da Convergência Dominada Generalizada de Lesbegue. Estes teoremas serão essenciais para nossos objetivos. Depois introduzimos o conceito de Espaços $L^p$, e em seguida mostramos que este espaço é Banach. Além disso, apresentamos uma breve teoria de integração, donde a sua finalidade são os teoremas de Tonelli-Fubinni e a desigualdade integral de Minkowski. Finalmente, apresentamos a teoria dos semigrupos juntamente com a teoria do cálculo fracionário. Para estabelecer a relação entre esses dois temas, mostraremos que a integral fracionária de Riemann-Liouville é um semigrupo fortemente contínuo, e, como resultado, estamos empenhados em exibir qual \'{e} o seu gerador infinitesimal.

Abstract: The study of fractional calculus has grown greatly over the past six decades, and it is increasingly relating to many different areas of mathematics. Thus, we were motivated to understand the relationship that existed between fractional calculus and semigroup theory. This is why in the first moment we introduce the functions Gamma, Beta and Digamma, which, along with their properties, will be fundamental to obtain the main results discussed in this text. Right after that we take a brief course in measure theory in order to present three major theorems: Lesbegue's Monotone Convergence Theorem, Lesbegue's Dominated Convergence Theorem, and Lesbegue's Generalized Dominated Convergence Theorem. These theorems will be essential for our purposes. Then we introduce the concept of $L^p$-spaces, and then show that this space is Banach. In addition we present a brief theory of integration, hence the Tonelli-Fubinni theorems and the Minkowski integral inequality. Finally, we present the theory of semigroups together with the theory of fractional calculus. To establish the relationship between these two topics, we will show that the Riemann-Liouville fractional integral is a strongly continuous semigroup. And, as a result, we are engaged in exhibiting which is its infinitesimal generator.