Um estudo do divisor excepcional de folheações de codimensão um em C3

Abstract

Neste trabalho estudamos a conexidade do divisor excepcional total oriundo da redução de singularidades de uma folheação holomorfa singular não dicrítica de codimensão um em (C^3,0), após retirarmos do divisor as chamadas componentes nodais não interrompidas. Descrevemos o divisor excepcional através do conjunto de listas H, o qual podemos estudar utilizando grafos, homologia simplicial e resultados de paridade. As componentes nodais do conjunto singular de uma folheação são objetos de interesse pois localmente provocam uma separação no espaço de folhas. Em dimensão três, tratam-se de uniões de curvas cujos pontos genéricos são singularidades nodais em dimensão dois, e cujos pontos triplos são também nodais. O divisor excepcional total é obtido fazendo uma sucessão de blow-ups em centros permitidos; ao final da redução de singularidades, será uma união de hipersuperfícies invariantes. Mostramos que se o conjunto das componentes nodais não interrompidas tem n elementos, então o complementar deste conjunto no divisor possui n+1 componentes conexas.

Abstract: In this work we study the conectivity of the total exceptional divisor obtained from the reduction of singularities of a nondicritical holomorphic singular codimension one foliation in (C^3,0), after we exclude the so called uninterrupted nodal components. We describe the exceptional divisor through the set of lists H, which we can study using graphs, simplicial homology and parity results. The nodal components in the singular locus of a foliation are objects of interest because the locally cause a separation in the set of leaves. In dimension three, they are unions of curves whose generic points are nodal singularities in dimension two, and whose triple points are also nodal. The total exceptional divisor is obtained by performing a succession of blow-ups at permissible centers; at the end of the reduction of singularities, it will be a union of invariant hypersurfaces. We show that if the set of uninterrupted nodal components has n elements, then the complement of this set in the divisor has n+1 connected components.