Geometry and topology of black hole horizons

Abstract

A principal motivação deste trabalho se origina com o famoso e fundamental teorema de Hawking sobre a topologia dos buracos negros. O teorema afirma que em um espaço-tempo assintoticamente plano e estacionário de dimensão 4 contendo um buraco negro, e satisfazendo a condição de energia dominante, as seções transversais espaciais do horizonte de eventos são topologicamente esferas de dimensão 2. Neste trabalho, exploramos uma generalização natural do teorema de Hawking para dimensões superiores, obtido por Galloway e Schoen, contendo condições excepcionais, bem como versões posteriores desse resultado, que efetivamente excluem essas condições excepcionais e recuperam o resultado de Hawking em dimensão 4. Em certas dimensões superiores, somos capazes de mostrar que os horizontes de eventos, no caso estacionário, e as outermost marginally outer trapped surfaces (MOTSs), no caso geral, admitem uma métrica de curvatura escalar positiva. Essa condição impõe várias restrições conhecidas sobre a topologia e é consistente com exemplos da literatura de espaços-tempos de buraco negro estacionários de cinco dimensões com topologia de horizonte $S^2 \times S^1$. A prova desses resultados requer técnicas de geometria diferencial, análise e se tem inspiração na teoria de superfícies mínimas. Portanto, este trabalho tem como objetivo examinar de perto as complexidades do problema e servir como uma introdução amigável ao tópico para leitores que possam não estar familiarizados com técnicas vindas da geometria semi-Riemanniana, relatividade geral e análise geométrica.

Abstract: The main motivation of this work stems from a celebrated and fundamental theorem of Hawking on the topology of black holes. The theorem states that in a 4-dimensional asymptotically flat stationary black hole spacetime satisfying the dominant energy condition, the spacelike cross sections of the event horizon are topologically 2-spheres. In this work, we explore a natural generalization of Hawking's theorem to higher dimensions, obtained by Galloway and Schoen, with exceptional conditions, as well as more recent versions of that result, which effectively remove those exceptional conditions and recover Hawking's result in dimension 4. In higher dimensions, we are able to show that event horizons, in the stationary case, and outermost marginally outer trapped surfaces (MOTSs), in the general case, admit a metric of positive scalar curvature. This condition imposes several well-known restrictions on the topology, and it is consistent with examples of five-dimensional stationary black hole spacetimes with horizon topology $S^2 \times S^1$. The proof of these results requires techniques from differential geometry, analysis, and draws its motivation from minimal surface theory. Therefore, this work aims to closely examine the intricacies of the problem and serve as a friendly introduction to the topic for readers who may not be familiar with techniques of semi-Riemannian geometry, general relativity and geometric analysis.