Método de Galerkin descontínuo aplicado a uma equação de difusão

Abstract

A matemática tem um papel fundamental na representação de fenômenos da natureza, como na engenharia, na física, na economia etc. Esses fenômenos são comumente modelados por meio de Equações Diferenciais Parciais (EDP’s). Essas equações por vezes possuem soluções analíticas altamente complexas e difíceis ou impossíveis de serem encontradas. Neste trabalho abordaremos um problema físico clássico que é representado por uma EDP: a equação de difusão. Esta equação pode, por exemplo, modelar o fluxo de calor em uma superfície, o fluxo de fluídos em uma tubulação, a difusão de partículas e o fluxo de cargas elétricas em um semicondutor, de onde já podemos imaginar a importância de estudá-la. O objetivo será apresentar uma forma de contornar a dificuldade de obtenção de uma so lução analítica, fazendo uso de um método numérico, que na prática fornecerá uma solução aproximada em relação à solução exata do problema. O método, o qual estudaremos teoria e implementação, é chamado de Galerkin Descontínuo. Trabalharemos com uma EDP linear de segunda ordem, com difusividade constante no tempo e domínio em um retângulo no R 2 . Propositalmente adotamos uma equação que sob certas hipóteses possuirá solução exata co nhecida com o intuito de validar o método numérico utilizado e analisar os resultados obtidos. Faremos uso do software MATLAB para executar os códigos necessários ao cálculo da solu ção, apresentando alguns experimentos numéricos para os problemas de difusão estacionários e não estacionários, que ilustram a qualidade das soluções obtidas e comprovam a taxa de convergência teórica do método de Galerkin Descontínuo.