Propriedade do Sombreamento e sua relação com a Estabilidade Topológica em Espaços Shift

Abstract

A partir da discretização de sistemas dinâmicos, surge a área da Dinâmica Simbólica. Neste trabalho, começamos estudando os objetos centrais dessa área: os espaços shift. Estudamos a sua definição clássica sobre alfabetos finitos por meio de blocos proibidos e de linguagens, e em seguida definimos um tipo especial de espaço shift, que são os shifts de tipo finito. Analisamos também algumas características topológicas dos espaços shift, em consequência da definição de uma métrica que permite vê-los como sistemas dinâmicos. A partir destas características, obtemos a caracterização dos espaços shift como sendo os subconjuntos invariantes e compactos do shift completo. Em seguida, expandimos essas definições e resultados para os espaços shift definidos sobre alfabetos infinitos, e vemos que o shift completo sobre um alfabeto infinito não é compacto. Estudamos as definições de órbita, pseudo-órbita e sombreamento, para posteriormente definir a propriedade do sombreamento. Analisamos alguns exemplos da ocorrência da propriedade do sombrea mento, e provamos o seguinte resultado tradicional: um espaço shift tem a propriedade do sombreamento se, e somente se, for de tipo finito. Definimos e exemplificamos os concei tos de homeomorfismo expansivo e sistema dinâmico topologicamente estável, e com isso provamos o resultado principal para espaços métricos compactos: um sistema dinâmico que seja expansivo e tenha a propriedade do sombreamento é topologicamente estável. Por fim, expandimos esse resultado para os espaços shift de ordem M sobre alfabetos infinitos, que não são compactos.